Harmonski oscilator
Iz Kvantna mehanika I 2007 - 2008
Naloga
- Kako se s časom spreminjata pričakovani vrednosti operatorjev x in x2 v stanju
harmonskega oscilatorja
?
- S pomočjo anihilacijskega in kreacijskega operatorja določi valovni funkciji osnovnega in prvega vzbujenega stanja harmonskega oscilatorja v koordinatni reprezentaciji.
Rešitev
Hamiltonovo funkcijo za harmonski oscilator lahko namesto z operatorjema lege in gibalne količine izrazimo kot funkcijo anihilacijskega ter kreacijskega (ki je kar adjungirani anihilacijski operator) operatorja
,
pri čemer je , anihalicijski operator pa je enak
,
pri čemer je ,
.
Lastnim funkcijam oz. stanjem harmonskega oscilatorja ( ,
,
, ....) ustrezajo določene diskretne vrednosti energije En, ki predstavljajo lastne vrednosti Hamiltonovega operatorja
.
Vrednosti teh energij določa enačba
.
Kako anihalicijski ter kreacijski operator delujeta na lastne funkcije podajajo naslednje zvaze:
.
Časovni razvoj dane valovne funkcije je enak:
.
Iz definicij anihilacijskega ter lreacijskega operatorja izrazimo operator lege
in uporabimo pri izračunu časovne odvisnosti pričakovane lege
.