Harmonski oscilator

Iz Kvantna mehanika I 2007 - 2008

[spremeni] Naloga

Kako se s časom spreminjata pričakovani vrednosti operatorjev $x$ in $x 2$ v stanju $\left|\psi,0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right)$ harmonskega oscilatorja $H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}$ ?
S pomočjo anihilacijskega in kreacijskega operatorja določi valovni funkciji osnovnega in prvega vzbujenega stanja harmonskega oscilatorja v koordinatni reprezentaciji.

[spremeni] Rešitev

Hamiltonovo funkcijo za harmonski oscilator lahko namesto z operatorjema lege in gibalne količine izrazimo kot funkcijo anihilacijskega ter kreacijskega (ki je kar adjungirani anihilacijski operator) operatorja

$H = \hbar \omega (a^{\dagger}a + \frac{1}{2})$ ,

pri čemer je $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ , anihalicijski operator pa je enak

$a = \frac{1}{\sqrt 2} (\frac{x}{x_0} + i \frac{p}{p_0})$ ,

pri čemer je $x_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}$ , $p_0 = \frac{\hbar}{x_0}$ .

Lastnim funkcijam oz. stanjem harmonskega oscilatorja ( $\left|0\right\rangle$ , $\left| 1\right\rangle$ , $\left|2\right\rangle$ , ....) ustrezajo določene diskretne vrednosti energije $E n$ , ki predstavljajo lastne vrednosti Hamiltonovega operatorja

$H \left| n\right\rangle = E_n \left| n\right\rangle$ .

Vrednosti teh energij določa enačba

$E_n = \hbar \omega (n + \frac{1}{2})$ .

Kako anihalicijski ter kreacijski operator delujeta na lastne funkcije podajajo naslednje zveze:

$a\left| 0\right\rangle = 0$
$a\left| n\right\rangle = \sqrt n \left| n-1\right\rangle$
$a^{\dagger}\left| 0\right\rangle = | 1\rangle$ (na vajah smo narobe pisali le 1)
$a^{\dagger}\left| n\right\rangle = \sqrt {n+1} \left| n+1\right\rangle$ .

Časovni razvoj dane valovne funkcije je enak:

$|\psi,t\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |0\rangle e^{-i\frac{E_{0}}{\hbar}t} + |1\rangle e^{-i\frac{E_{1}}{\hbar}t} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + |1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right)$ .

Iz definicij anihilacijskega ter kreacijskega operatorja izrazimo operator lege

$x = \frac{x_0}{\sqrt 2} (a + a^{\dagger})$

in uporabimo pri izračunu časovne odvisnosti pričakovane lege

$\langle x(t) \rangle = \langle \psi | x \psi \rangle =\frac{x_0}{\sqrt 2} (\langle a \rangle + \langle a^{\dagger} \rangle) =\frac{x_0}{\sqrt 2} 2 Re(\langle a \rangle) = \sqrt 2 x_0 Re(\langle a\rangle)$ .

Tako je potrebno izračunati pričakovano vrednost anihilacijskega operatorja

$\langle a \rangle = \langle \psi | a \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \langle 0| e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \langle 1| e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) | a \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + |1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right)$ .

Anihilacijski operator a deluje na funkcijo psi (desni oklepaj) po zgoraj navedenih pravilih

$\langle a \rangle = \frac{1}{2} \left( \langle 0| e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \langle 1| e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) \left( 0 + \sqrt 1 |0\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t}\right)$ .

Nato se pri množenju upošteva ortogonalnost in normiranost lastnih funkcij

$\langle a \rangle = \frac{1}{2}\left( e^{i\frac{\omega}{2}t - i\frac{3\omega}{2}t} + 0\right) = \frac{1}{2} e^{-i\omega t}$ .

To vstavimo v izraz za pričakovano vrednost lege in upoštevamo, da je realni del eksponenta kosinus in dobimo

$\langle x(t) \rangle = \frac{x_0 \sqrt 2}{2} \cos{\omega t}$ .

Podobno izračunamo pričakovano vrednost kvadrata lege:

$\langle x(t)^2 \rangle = \langle \psi | x^2 \psi \rangle = \langle \frac{x_0^2}{2}(a + a^{\dagger})^2\rangle = \frac{x_0^2}{2} \langle (a + a^{\dagger})^2\rangle = \frac{x_0^2}{2} (\langle a a\rangle + \langle a a^{\dagger}\rangle + \langle a^{\dagger} a\rangle + \langle a^{\dagger} a^{\dagger}\rangle)$ .

Nato preoblikujemo izraz v

$\langle x(t)^2 \rangle = \frac{x_0^2}{2} (2 Re(\langle a^2\rangle ) + \langle 2 a a^{\dagger}\rangle - 1)$ ,

pri čemer uporabimo dejstvo, da je komutator anihilacijskega ter kreacijskega operatorja enak 1

$\left[ a,a^{\dagger} \right] = aa^{\dagger} - a^{\dagger}a = 1$ .

Podobno kot $\langle a\rangle$ poračunamo tudi $\langle a^2\rangle$ , to je dvakrat delujemo z opeatorjem a na funkcijo $ψ$ , kar da po zgoraj zapisanih formulah rezultat 0.

Tako je potrebno poračunati le še

$\langle a a^{\dagger}\rangle = \langle \psi | a a^{\dagger} \psi \rangle = \langle a^{\dagger}\psi | a^{\dagger} \psi \rangle$ ,

kjer je bra enak ketu, le da ima kompleksno konjugirane koeficiente. Kot za operator $a$ poračunamo

$| a^{\dagger} \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} (\sqrt{0+1}|0+1\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \sqrt{1+1} | 1+1 \rangle e^{-i3\frac{\omega}{2}t}) = \frac{1}{\sqrt 2} (|1\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \sqrt{2} | 2 \rangle e^{-i3\frac{\omega}{2}t})$ .

Tako dobimo:

$\langle a^{\dagger}\psi | a^{\dagger} \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} \frac{1}{\sqrt 2} (\langle 1|e^{i\frac{\omega}{2}t} + \sqrt 2 \langle 2 | e^{i3\frac{\omega}{2}t})(|1\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \sqrt{2} | 2 \rangle e^{-i3\frac{\omega}{2}t}) = \frac{1}{2}(\langle 1|1\rangle e^0 +0 + 0 + 2\langle2|2\rangle e^0) = \frac{3}{2}$ ,

pri čemer smo zopet upoštevali ortonormiranost lastnih funkcij.

Pričakovana vrednost kvadrata odmika je tako

$\langle x(t)^2 \rangle = \frac{x_0^2}{2}(2\frac{3}{2} - 1) = x_0^2$ .

Diracov zapis $a|0\rangle = 0$ prevedemo v koordinatni zapis

$\frac{1}{\sqrt 2}(\frac{x}{x_0} + i\frac{p}{p_0})\psi_0 (x) = 0$ ,

rešitev te diferencialne enačbe pa je

$\psi (x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x_0^2 \pi}}e^{- \frac{x^2}{2x_0^2}}$ .

Podobno

$a^{\dagger}|0\rangle = |1\rangle \Rightarrow \frac{1}{\sqrt 2}(\frac{x}{x_0} + i\frac{p}{p_0})\psi_0 (x) = \psi_1 (x) = \frac{1}{\sqrt 2}(\frac{x}{x_0} - \frac{\hbar}{p_0} \frac{\partial}{\partial x})\psi_0 (x) = \frac{1}{\sqrt 2}(\frac{x}{x_0} - x_0 \frac{\partial}{\partial x})\psi_0 (x) =$

$= \frac{x}{x_0 \sqrt{2} \sqrt[4]{x_0^2 \pi}}e^{- \frac{x^2}{2x_0^2}} - \frac{x_0}{\sqrt{2} \sqrt[4]{x_0^2 \pi}}\left( - \frac{2 x}{x_0^2}\right) e^{- \frac{x^2}{2x_0^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt[4]{x_0^2 \pi}}e^{- \frac{x^2}{2x_0^2}}(\frac{x}{x_0} + \frac{x}{x_0})$ .

Rezultat:

$\psi_1 (x) = \sqrt 2 \frac{x}{x_0} \psi_0$ .

Vzpostavljeno iz »http://burana.ijs.si/wiki5/index.php/Harmonski_oscilator«