Harmonski oscilator

Iz Kvantna mehanika I 2007 - 2008

(Primerjava redakcij)

Redakcija: 11:19, 25 marec 2008

Naloga

Kako se s časom spreminjata pričakovani vrednosti operatorjev $x$ in $x 2$ v stanju $\left|\psi,0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right)$ harmonskega oscilatorja $H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}$ ?
S pomočjo anihilacijskega in kreacijskega operatorja določi valovni funkciji osnovnega in prvega vzbujenega stanja harmonskega oscilatorja v koordinatni reprezentaciji.

Rešitev

Hamiltonovo funkcijo za harmonski oscilator lahko namesto z operatorjema lege in gibalne količine izrazimo kot funkcijo anihilacijskega ter kreacijskega (ki je kar adjungirani anihilacijski operator) operatorja

$H = \hbar \omega (a^{\dagger}a + \frac{1}{2})$ ,

pri čemer je $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ , anihalicijski operator pa je enak

$a = \frac{1}{\sqrt 2} (\frac{x}{x_0} + i \frac{p}{p_0})$ ,

pri čemer je $x_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}$ , $p_0 = \frac{\hbar}{x_0}$ .

Lastnim funkcijam oz. stanjem harmonskega oscilatorja ( $\left|0\right\rangle$ , $\left| 1\right\rangle$ , $\left|2\right\rangle$ , ....) ustrezajo določene diskretne vrednosti energije $E n$ , ki predstavljajo lastne vrednosti Hamiltonovega operatorja

$H \left| n\right\rangle = E_n \left| n\right\rangle$ .

Vrednosti teh energij določa enačba

$E_n = \hbar \omega (n + \frac{1}{2})$ .

Kako anihalicijski ter kreacijski operator delujeta na lastne funkcije podajajo naslednje zvaze:

$a\left| 0\right\rangle = 0$
$a\left| n\right\rangle = \sqrt n \left| n-1\right\rangle$
$a^{\dagger}\left| 0\right\rangle = 1$
$a^{\dagger}\left| n\right\rangle = \sqrt {n+1} \left| n+1\right\rangle$ .

Časovni razvoj dane valovne funkcije je enak:

$|\psi,t\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |0\rangle e^{-i\frac{E_{0}}{\hbar}t} + |1\rangle e^{-i\frac{E_{1}}{\hbar}t} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + |1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right)$ .

Iz definicij anihilacijskega ter lreacijskega operatorja izrazimo operator lege

$x = \frac{x_0}{\sqrt 2} (a + a^{\dagger})$

in uporabimo pri izračunu časovne odvisnosti pričakovane lege

$\langle x(t) \rangle = \langle \psi | x \psi \rangle =\frac{x_0}{\sqrt 2} (\langle a \rangle + \langle a^{\dagger} \rangle) =\frac{x_0}{\sqrt 2} 2 Re(\langle a \rangle) = \sqrt 2 x_0 Re(\langle a\rangle)$ .

Vzpostavljeno iz »http://burana.ijs.si/wiki5/index.php/Harmonski_oscilator«

 == Rešitev ==
+Hamiltonovo funkcijo za harmonski oscilator lahko namesto z operatorjema lege in gibalne količine izrazimo kot funkcijo anihilacijskega ter kreacijskega (ki je kar adjungirani anihilacijski operator) operatorja
+:<math>H = \hbar \omega (a^{\dagger}a + \frac{1}{2})</math>,
+pri čemer je <math>\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}</math> , anihalicijski operator pa je enak
+:<math>a = \frac{1}{\sqrt 2} (\frac{x}{x_0} + i \frac{p}{p_0})</math> ,
+pri čemer je <math>x_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}</math>, <math>p_0 = \frac{\hbar}{x_0}</math> .
+Lastnim funkcijam oz. stanjem harmonskega oscilatorja (<math>\left|0\right\rangle</math> , <math>\left| 1\right\rangle</math>, <math>\left|2\right\rangle</math>, ....) ustrezajo določene diskretne vrednosti energije <math>E_n</math>, ki predstavljajo lastne vrednosti Hamiltonovega operatorja
+:<math>H \left| n\right\rangle = E_n \left| n\right\rangle</math> .
+Vrednosti teh energij določa enačba
+:<math>E_n = \hbar \omega (n + \frac{1}{2})</math> .
+Kako anihalicijski ter kreacijski operator delujeta na lastne funkcije podajajo naslednje zvaze:
+*<math>a\left| 0\right\rangle = 0</math>
+*<math>a\left| n\right\rangle = \sqrt n \left| n-1\right\rangle</math>
+*<math>a^{\dagger}\left| 0\right\rangle = 1</math>
+*<math>a^{\dagger}\left| n\right\rangle = \sqrt {n+1} \left|
+n+1\right\rangle</math> .
+Časovni razvoj dane valovne funkcije je enak:
+:<math>|\psi,t\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |0\rangle e^{-i\frac{E_{0}}{\hbar}t} + |1\rangle e^{-i\frac{E_{1}}{\hbar}t} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + |1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) </math> .
+Iz definicij anihilacijskega ter lreacijskega operatorja izrazimo operator lege
+:<math>x = \frac{x_0}{\sqrt 2} (a + a^{\dagger})</math>
+in uporabimo pri izračunu časovne odvisnosti pričakovane lege
+:<math>\langle x(t) \rangle = \langle \psi | x \psi \rangle =\frac{x_0}{\sqrt 2} (\langle a \rangle + \langle a^{\dagger} \rangle) =\frac{x_0}{\sqrt 2} 2 Re(\langle a \rangle) = \sqrt 2 x_0 Re(\langle a\rangle)</math> .