Kronig-Penneyev model kristala

Iz Fizika trdne snovi 2007 - 2008

Imamo delec v 1D Kronig-Penneyevem potencialu:

Iščemo lastne funkcije energije za ta sistem.

Potencial je več kot očitno periodičen:

Torej tudi za Hamiltonov operator velja, da je periodičen:

Uvedimo operator translacije:

Za lastne funkcije tega operatorja torej sledi:

Ker je Hamiltonov operator periodičen s periodo a, komutira z operatorjem translacije, torej velja naslednja zveza: .

Od tod sledi, da so lastne funkcije operatorja translacije hkrati tudi lastne fukcije Hamiltonovega operatorja:

Sedaj lahko izvedemo n-kratno translacijo tako, da n-krat delujemo na funkcijo z operatorjem translacije. Temu ustreza premik valovne fukcije za na.

Ker vemo, da je verjetnost, da tam najdemo delec končna in od nič različna in ker imamo neskončen kristal (torej lahko n izberemo poljubno velik), dobimo od tod pogoj za lastno vrednost operatorja translacije kot: | α | = 1, torej jo lahko zapišemo kot α = e ^{− iφ} oziroma, če to izrazimo s periodo a, kot α = e ^{− ika}

Če sedaj povzamemo vse skupaj: ψ_a(x − a) = e ^{− ika}ψ_a(x), oziroma ψ_a(x)e^ika = ψ_a(x + a)

Sedaj uporabimo sledeči nastavek:ψ_a(x) = e^ikxu(x), katerega nesemo v zgornjo enačbo: e^{ik(x + a)}u(x) = e^{ik(x + a)}u(x + a) in od tod dobimo pogoj za funkcijo u(x): u(x) = u(x + a). Toliko nam lahko da sama simetrija problema - torej periodičnost potenciala.

Lastne funkcije poiščemo s pomočjo Schrodingerjeve enačbe:

Rešitve v vmesnih področjih, kjer je V=0, so oblike

ψ_n(x) = A_ne^iqx + B_ne ^{− iqx} = ψ_n(x) = e^ikx(A_ne^{i(q − k)x} + B_ne ^{− i(q + k)x}) = e^ikxu_n(x), kjer je ψ_n(x) lastna funkcija energije v n-tem področju in

Sedaj nesemo dobljeni izraz za u(x) v pogoj, dobljen iz periodičnosti potenciala: u(x)=u(x+a):

u_n(x) = u_{n + 1}(x + a)

A_ne^{i(q − k)x} + B_ne ^{− i(q + k)x} = A_{n + 1}e^{i(q − k)(x + a)} + B_{n + 1}e ^{− i(q + k)(x + a)}

Ker to velja za vsak x, sledi:

A_{n + 1} = A_ne ^{− i(q − k)a}

B_{n + 1} = B_ne^{i(q + k)a}, torej

A_n = Ae ^{− i(q − k)na}

B_n = Be^{i(q + k)na}, kjer sta: A = A₀ in B = B₀

Torej lahko zapišemo rešitev Schrodingerjeve enačbe za n-to področje kot:

ψ_n(x) = e^ikx(Ae^{i(q − k)(x − na)} + Be ^{− i(q + k)(x − na)}) =

= Ae^iqxe ^{− i(q − k)na} + Be ^{− iqx}e^{i(q + k)na}

Neznane količine: q (in torej tudi lastne energije E), A in B, dobimo iz začetnih in robnih pogojev.

Robni pogoji:

1.) ψ_{n − 1}(x = na) = ψ_n(x = na)

2.) , kjer je

Ko vstavimo valovno funkcijo v prvi robni pogoj, dobimo:

ψ_{n − 1}(na) = ψn(na)

A_{n − 1}e^iqna + B_{n − 1}e ^{− iqna} = A_{n − 1}e ^{− i(q − k)a}e^iqna + B_{n − 1}e^{i(q + k)a}e − iqna

A_{n − 1}e^iqna(1 − e ^{− iqa}e^ika) = B_{n − 1}e ^{− iqna}(e^iqae^ika − 1)

Iz drugega robnega pogoja pa dobimo:

ψ_n'(na) − ψ_{n − 1}'(na) = 2Qψ_n(na)

iq(A_{n − 1}e ^{− i(q − k)a}e^iqna − B_{n − 1}e^{i(q + k)a}e − iqna − A_{n − 1}e^iqna + B_{n − 1}e ^{− iqna}) = 2Q(A_{n − 1}e ^{− i(q − k)a}e^iqna + B_{n − 1}e^{i(q + k)a}e − iqna)

A_{n − 1}e^iqna(iqe ^{− iqa}e^ika − iq − 2Qe ^{− iqa}e^ika) = B_{n − 1}e ^{− iqna}(iqe^iqae^ika − iq + 2Qe^iqae^ika)

Sedaj lahko med seboj zdelimo obe enačbi, ki sledita iz robnih pogojev, ter se tako znebimo konstant A in B

(1 − e ^{− iqa}e^ika)(iqe^iqae^ika − iq + 2Qe^iqae^ika) = (e^iqae^ika − 1)(iqe ^{− iqa}e^ika − iq − 2Qe ^{− iqa}e^ika)

(iqe^iqae^ika − iq + 2Qe^iqae^ika − iqe^2ika + iqe ^{− iqa}e^ika − 2Qe^2ika) = (iqe^2ika − iqe^iqae^ika − 2Qe^2ika − iqe ^{− iqa}e^ika + iq + 2Qe ^{− iqa}e^ika)

Pomnožimo celotno enačbo s členom e ^{− ika}

(iqe^iqa − iqe ^{− ika} + 2Qe^iqa − iqe^ika + iqe ^{− iqa} − 2Qe^ika) = (iqe^ika − iqe^iqa − 2Qe^ika − iqe ^{− iqa} + iqe ^{− ika} + 2Qe ^{− iqa})