Kronig-Penneyev model kristala

Iz Fizika trdne snovi 2007 - 2008

(Primerjava redakcij)

Redakcija: 22:47, 19 januar 2008

Imamo delec v 1D Kronig-Penneyevem potencialu: $V\left(x\right)=\sum_n\lambda\delta\left(x-na\right)$

Iščemo lastne funkcije energije za ta sistem.

Potencial je več kot očitno periodičen: $V\left(x+a\right)=V\left(x\right)$

Torej tudi za Hamiltonov operator: $\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}=\frac{\hat{p_x}^2}{2m}+\hat{V}\left(x\right) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial{x}^2} + \hat{V}(x)$ velja, da je periodičen: $\hat{H}\left(x+a\right)=\hat{H}\left(x\right)$

Uvedimo operator translacije: $\hat{A}\psi(x)=\psi(x-a)$

Za lastne funkcije tega operatorja torej sledi: $\hat{A}\psi_a(x)=\alpha\psi_a(x)=\psi_a(x-a)$

Ker je Hamiltonov operator periodičen s periodo a, komutira z operatorjem translacije, torej velja naslednja zveza: $\hat{A}(\hat{H}\psi_a(x))=\hat{H}(\hat{A}\psi_a(x))=\alpha(\hat{H}\psi_a(x))$ .

Od tod sledi, da so lastne funkcije operatorja translacije hkrati tudi lastne fukcije Hamiltonovega operatorja: $\hat{H}\psi_a(x)=k\psi_a(x)$

Vzpostavljeno iz »http://burana.ijs.si/wiki3/index.php/Kronig-Penneyev_model_kristala«

 -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial{x}^2} + \hat{V}(x)</math> velja, da je periodičen: <math>\hat{H}\left(x+a\right)=\hat{H}\left(x\right)</math>
-Uvedimo operator translacije
+Uvedimo operator translacije: <math>\hat{A}\psi(x)=\psi(x-a)</math>
+Za lastne funkcije tega operatorja torej sledi: <math>\hat{A}\psi_a(x)=\alpha\psi_a(x)=\psi_a(x-a)</math>
+Ker  je Hamiltonov operator periodičen s periodo a, komutira z operatorjem translacije, torej velja naslednja zveza: <math>\hat{A}(\hat{H}\psi_a(x))=\hat{H}(\hat{A}\psi_a(x))=\alpha(\hat{H}\psi_a(x))</math>.
+Od tod sledi, da so lastne funkcije operatorja translacije hkrati tudi lastne fukcije Hamiltonovega operatorja: <math>\hat{H}\psi_a(x)=k\psi_a(x)</math>