Heisenbergov princip nedoločenosti II in komutatorske identitete

Iz Kvantna Mehanika I 2006 - 2007

(Primerjava redakcij)

Redakcija: 20:03, 12 marec 2007

Naloga

S pomočjo principa nedoločenosti za lego in gibalno količino oceni energijo osnovnega stanja harmonskega oscilatorja ( $H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}$ ).
Dokaži naslednje komutatorske identitete:
- Dokaži, da velja $[A, B n] = n B n - 1 [A, B]$ , če operatorja $A$ in $B$ zadoščata pogoju $[[A, B], B] = 0$ . Uporabi rezultat za izračun komutatorja $[A, f (B)]$ . Predpostavi, da se funkcija $f$ da razviti v Taylorjevo vrsto.
- Pokaži, da velja $e^{A+B}=e^A e^B e^{-{\frac{1}{2}[A,B]}}$ , če $[A, B]$ komutira z operatorjema $A$ in $B$ .
- Dokaži Baker-Hausdorffovo identiteto: $e^A B e^{-A}=B+[A,B]+\frac{1}{2!}[A,[A,B]]+{\ldots}$ .

Rešitev

Energija osnovnega stanja harmonskega oscilatorja seveda ni enaka nič (kot bi to morda intuitivno pričakovali), saj bi s tem kršili Heisenbergov princip nedoločenosti, ki pravi, da delca ne moremo fiksirati točno na sredino potenciala in ga pustiti tam mirovati.

Da bi izračunali, kolikšna je minimalna dovoljena energija $E 0$ , da še ne kršimo Heisenbergovega principa nedoločenosti, moramo najprej izpisati operator polne energije harmonskega oscilatorja

$\langle \psi | H | \psi \rangle = \langle H \rangle = E_0 = \frac{\langle p^2 \rangle}{2m} + \frac{1}{2}\,k\,x^2$ .

Ker je potencial simetričen okrog $x = 0$ , je pričakovana vrednost koordinate $x$

$\langle x \rangle = 0$ .

Iz tega sledi, da je tudi pričakovana vrednost gibalne količine

$\langle p \rangle = m \, \frac{d\langle x \rangle}{dt} = 0$ .

Vzpostavljeno iz »http://burana.ijs.si/wiki/index.php/Heisenbergov_princip_nedolo%C4%8Denosti_II_in_komutatorske_identitete«

 Da bi izračunali, kolikšna je minimalna dovoljena energija <math>E_0</math>, da še ne kršimo Heisenbergovega principa nedoločenosti, moramo najprej izpisati operator polne energije harmonskega oscilatorja
-<math>\langle \psi | H | \psi \rangle = \langle H \rangle = E_0 = \frac{\langle p^2 \rangle}{2m} + \frac{1}{2}\,k\,x^2</math>
+<math>\langle \psi | H | \psi \rangle = \langle H \rangle = E_0 = \frac{\langle p^2 \rangle}{2m} + \frac{1}{2}\,k\,x^2</math>.
-Ker je potencial simetričen okrog , je pričakovana vrednost koordinate
+Ker je potencial simetričen okrog <math>x = 0</math>, je pričakovana vrednost koordinate <math>x</math>
+<math>\langle x \rangle = 0</math>.
+Iz tega sledi, da je tudi pričakovana vrednost gibalne količine
+<math>\langle p \rangle = m \, \frac{d\langle x \rangle}{dt} = 0</math>.