Potencialna stopnica

Imamo potencial V(x) v obliki:

                                                                                         (1)

a)                  Izraunaj energijo vezanega stanja in valovno funkcijo ψ(x)!

e je potencial na nekem podroju konstanten, potem smo e pokazali, da je reitev za ψ(x) v obliki:

                                                                                       (2)

Pri naem primeru imamo dva taka odseka, zato za vsakega posebej nastavimo reitev:

                                                                               (3)

                                                                     (4)

Imamo tiri robne pogoje, s katerimi doloimo konstante. Prva dva sta doloena s tem, da se delec seveda ne more nahajat tam, kjer je potencial neskonen.

                                                                                                                                     (5)

                                                                                                                                     (6)

Druga dva sta doloena na meji med potencialoma. Doloena sta s tem, da morata biti funkcija in njen odvod zvezna.

                                                                                                                             (7)

                                                                                                                           (8)

Ko ustavimo reitvi v prva robna pogoja, se znebimo B in D.

                                             

To uporabimo e pri ostalih dveh robnih pogojih.

              

Za etrti robni pogoj moramo izraunat e odvode.

                                     

Odvoda sta zaradi etrtega robnega pogoja enaka, zato dobimo iz vseh tirih robnih pogojev dve enabi.

                                                      

                                                   

Ti enabi lahko napiemo v matrini obliki.

                                                                                 (9)

Ta sistem je reljiv natanko takrat, ko velja:

                                 

                                                                                                           (10)

e je energija manja od potenciala, potem je q imaginaren, zato definiramo Q.

                                                                                     (11)

Zgornji izraz seveda dobi podobno obliko kot prej.

                                                                                                          (12)

Lahko uporabimo e naslednji zvezi za realni zapis:

                                     

Iz tega seveda sledi naslednja enaba.

                                                                                                         (13)

Preostane nam e samo to, da zapiemo ψ₂(x).

                                                                                                        (14)

b)                  Izraunaj energijo za poseben primer, ko velja  in !

Izkae se, da je uporabno vpeljati novo koliino

                                                                 ,                                                          (15)

ker potem lahko zapiemo Q kot .

e pogledamo e izraza (3) in (11), ki povezujeta energijo s k in Q, potem pridemo do naslednjih povezav

                                                                                                                               (16)

e razmislimo o tem, da je energija E veliko manja od potenciala na desni strani jame, potem pridemo do ugotovitve, da je zelo majhna verjetnost, da se delec dejansko nahaja na tej strani jame. To pomeni, da imamo na levi strani "skoraj neskonno potencialno jamo" in temu primerne naine nihanja. V neskonni potencialni jami velja, da je , zato moramo tudi za na primer vzeti "podoben" nastavek

                                                                  .                                                            (17)

Tukaj smo e dodali majhen popravek ε, ki pomeni samo to, da na robu pri  valovna funkcija ni 0, ampak je nekaj majhnega in potem eksponentno pade na 0 pri . S tem nastavkom in prejnjimi pribliki se zdaj lahko lotimo enabe (13).

                          

                                                                                                                                 (18)

 

Zdaj lahko definiram e

                                                                     ,                                                              (19)

za katerega seveda velja  in s katerim zdaj iz enabe (17) in (18) izrazim

                                                                  

Iz enabe (3) lahko izrazimo energijo kot

                                                                                                                                 (20)

                                                             (21)

Tako smo dobili priakovan rezultat, da je energija malo manja, ker ima delec na voljo ve prostora. Popravek se pa seveda zmanja, e poveamo potencial na desni strani nae jame, ker je .

c)                  Izraunaj e verjetnost, da se delec nahaja na desni polovici jame!

Iz istih argumentov kot prej lahko sklepamo, da je verjetnost, da se delec nahaja na levi strani potenciala skoraj 1 in, zato lahko iz tega izraunamo A. Ko bomo imeli A, potem lahko iz enabe (9) dobimo e koeficient C in izraunamo ustrezno verjetnost, da se delec nahaja na desni polovici jame. Najprej torej zapiemo prvo valovno funkcijo in izraunamo A.

                                                    

 Kot sem e prej omenil, je verjetnost skoraj 1, da bo na delec na levi polovici jame, zato lahko vrednost zgornjega integrala postavimo na 1 in dobimo izraz za A.

                                                                                                                               (22)

Tukaj vidimo, da lahko za dovolj majhen α dobimo A enak tistemu za neskonno potencialno jamo s irino a. To nas pa seveda ne presenea, ker smo to tudi iskali. Iz enabe (9) lahko zdaj izrazimo C.

                           

Tukaj sem predpostavil, da je tudi argument , saj gledamo samo tista stanja, kjer je energija dosti manja od potenciala, torej n ne sme biti prevelik.

                            

             

                                                                                                    (23)

                                       

                    

Od teh treh lenov dale najve prinese samo prvi len, tako da zanj dejansko izraunamo integral.

                                     

 

                                                                                                            (24)