Asistent — Thu, 16 Apr 2009 12:01:38 GMT

Asistent:

V fiziki naletimo na pojem skalarnega produkta v dveh poglavitnih povezavah. Prva je skalarni produkt vektorjev <math>\vec{a}\cdot\vec{b}</math>, ki se s komponentami vektorjev zapiše kot
<tt>
skalab := 0;
for i := 1 to 3 do skalab := skalab + a[i]*b[i]
</tt>
Postopek se razširi na končnodimenzionalne vektorje iz linearne algebre preprosto tako, da poženemo zanko od 1 do <tt>n</tt>, kjer je <tt>n</tt> število dimenzij.

Druga povezava, v kateri naletimo na skalarni produkt, so funkcijski prostori. V Hilbertovem prostoru, ki je prostor funkcij <math>f(x)</math>, <math>p\leq x\leq q</math>, za katere obstaja integral

<math>\int_p^q f^2(x)\mathrm{d}x</math>,

je skalarni produkt vektorjev/funkcij <math>a(x)</math> in <math>b(x)</math> definiran kot

<math>(a,b) = \int_p^q a(x)b(x) \mathrm{d}x</math>.

Naj si predstavljamo stolpca <tt>a[i]</tt> in <tt>b[i]</tt> v tabeli podatkov kot <tt>n</tt>-razsežna vektorja ali kot funkciji, ki sta tabelirani v enakomernih razmikih, obakrat pridemo do enakega recepta za skalarni produkt, namreč tistega v prvi vrstici. Kvečjemu bi v primeru funkcij dobljeni rezultat <tt>skalab</tt> pomnožili še s <tt>h</tt>, z velikostjo koraka v tabeli. Za neenakomerno tabelo bi skalarni produkt uvedli po vzorcu, ki smo ga uporabili pri integriranju (5. tema).

Skalarni produkt meri projekcijo enega vektorja na drugega. V harmonski analizi razstavimo signal <math>a(x)</math> v sinusne sestavine, tako da poiščemo skalarni produkt signala s sinusi in kosinusi različnih valovnih dolžin:

<math>C(k) = \left(a(x), \cos(kx)\right)</math>, 
<math>S(k) = \left(a(x), \sin(kx)\right)</math>.

Funkcije <math>C(k)</math> in <math>S(k)</math> in še bolje, njuna pitagorejska vsota <math>\sqrt{C(k)^2+S(k)^2}</math>, imajo ekstrem pri tistih periodah <math>2\pi/k</math>, ki so tudi periode signala.

Skalarni produkt dveh stolpcev podatkov <math>(a,b)</math> meri tudi korelacijo teh dveh količin, kadar ju razumemo kot statistični (naključni) spremenljivki. Če vpeljemo povprečno vrednost produkta

<tt>
r(a,b) = skalab/n
</tt>

in jo še primerno premaknemo in normiramo

<tt>
R(a,b) = (r(a,b) – apov*bpov)/(sigmaa*sigmab)
</tt>

smo dobili brezdimenzijski korelacijski koeficient, ki lahko zavzame vrednosti med -1 in 1. Pozitivne vrednosti pomenijo, da sta spremenljivki korelirani, se pravi, da ena količina v povprečju raste, ko raste druga. Negativne vrednosti <tt>R</tt> pomenijo antikorelacijo, ko vrednosti prve količine v povprečju padajo, ko druge naraščajo. Pri tem so vrednosti na obeh konceh intervala rezervirane za jasne linearne odvisnosti količin; tiste v sredi, recimo med -0.3 in 0.3, pa za blago, komaj razločno povezavo med gibanjem obeh spremenljivk.

Pomembna karakteristika povezave signalov <math>a</math> in <math>b</math> je njuna korelacijska funkcija

<math>K(y) = \left(a(x), b(x+y)\right)</math>,

torej skalarni produkt pri zakasnitvi <math>y</math>. Iz nje zelo jasno razberemo morebitne fazne premike signalov: zgodi se, da je skalarni produkt signalov majhen, da pa zrase, ko enega od signalov premaknemo po osi <math>x</math>. Izračunamo jo lahko za vrednosti <math>y</math> od -<math>n</math> do <math>n</math>. Seveda postaja z večanjem premika <math>y</math> interval, po katerem lahko računamo skalarni produkt, vse krajši, zato je definicijo smiselno popraviti tako, da računamo povprečno vrednost produkta – se pravi, da pri vsakem <math>y</math> delimo rezultat s številom točk, na katerih se signala sploh še prekrivata.

Tako funkcijo je zanimivo izračunati celo za en sam signal, takrat jo imenujemo avtokorelacijska funkcija:

<math>Q(y) = \left(a(x), a(x+y)\right)</math>.

Pri periodičnih signalih lahko iz ekstremov <math>Q</math> zelo natančno odčitamo periodo signala, pri neperiodičnih pa zvemo, kako daleč se signal "spominja" prejšnjega poteka.

V '''Mathematici''' skalarni produkt vektorjev <tt>a</tt> in <tt>b</tt> izračunamo z ukazom <tt>a.b</tt>, korelacijski koeficient med njima z ukazom <tt>Correlation</tt>, izračun korelacijske funkcije pa omogoča ukaz <tt>ListCorrelate</tt>.

== Naloge: ==nkcijo

# V najnovejši številki Obzornika je objavljen zanimiv članek o miniaturni magnetni črpalki.<ref>Blaž Kavčič, Dušan Babič in Igor Poberaj, ''Mikrofluidično vezje z mikročrpalko'', OMF '''56''' (2009) 1.</ref> Avtorji napovedo linearno zvezo med frekvenco rotorja in hitrostjo toka; meritve v datoteki "HitrostTokaOdFrekvence.txt" to potrjujejo. Določi korelacijski koeficient zveze med obema količinama.
# Ameriška uprava za zdravila (FDA – Food and Drug Administration) je preskusila čudežno zdravilo mirabilitin za zvonjenje v ušesih (tintinabulus). V datoteki "Tintin.dat" so podani rezultati dvojno slepega preskusa. Določi korelacijski koeficient med dozo (v mg/kg žive mase) in stanjem bolezni po terapiji (ur zvonjenja na teden).
# Pred leti smo v okviru mednarodnega projekta v našem znanem gradbenem podjetju merili hitrost strjevanja betona. Ulili so nekaj metrov velik betonski blok, v katerega je bila vdelana cela vrsta termočlenov za sprotno merjenje temperature. Datoteka "Beton.dat" podaja izmerke v razdobju šestih dni v dveh merilnih točkah. Prva je blizu površine, druga globoko v notranjosti. (Prvi stolpec je zaporedna številka meritve – časovni interval med njimi lahko oceniš iz očitnih dnevnih nihanj temperature.) Določi efektivno zakasnitev med obema signaloma iz njune korelacijske funkcije.
# V datoteki "Luna.efe" je dana efemerida Lune za eno od preteklih let. Stolpci so: dan začenši s 1.1., nato rektascenzija (nebesna dolžina) v urah in minutah, in nazadnje deklinacija (nebesna širina) v stopinjah, ob 0h svetovnega časa tega dne. Iz avtokorelacijske funkcije deklinacije čim bolj natančno določi Lunino periodo tira. (Lahko si pomagaš z odvajanjem.)

== Literatura ==

<references/>