Kvantna mehanika I 2008 - 2009 - Nove strani [sl]

Časovno odvisna perturbacija II

2009-05-27T17:25:19Z

Povzetek urejanja: New page: Delec s spinom 1/2 v homogenem magnetnem polju z gostoto <math>B_z</math> v smeri osi z je ob <math>t=0</math> v stanju <math>\left|\uparrow\right\rangle</math>. Ob <math>t=0</math> v čas...

Delec s spinom 1/2 v homogenem magnetnem polju z gostoto <math>B_z</math> v smeri osi z je ob <math>t=0</math> v stanju <math>\left|\uparrow\right\rangle</math>. Ob <math>t=0</math> v časovnem intervalu <math>\tau</math> vklopimo šibko polje v smeri x: <math>B_x(t)=B_x\frac{t}{\tau}</math>. V prvem redu perturbacije poišči valovno funkcijo delca ob <math>t=\tau</math>. Obravnavaj limiti hitrega in počasnega vklopa dodatnega polja.

Časovno odvisna perturbacija I

2009-05-27T17:24:32Z

Povzetek urejanja: Zaščita strani "[[Časovno odvisna perturbacija I]]" [edit=sysop:move=sysop]

Vodikov atom je v homogenem električnem polju

<math>E(t)=E_0\frac{1}{1+\left(\frac{t}{\tau}\right)^2}</math>.

Kolikšna je verjetnost, daje atom ob <math>t=\infty</math> v prvem vzbujenem stanju, če je bil ob <math>t=-\infty</math> v osnovnem stanju? Pri katerem <math>\tau</math> je ta verjetnost največja? Predpostavi, da je električno polje dovolj šibko, da lahko uporabiš perturbacijsko teorijo.

Perturbacija II

2009-05-21T11:49:33Z

Povzetek urejanja: New page: Izračunaj popravke energij in lastne funkcije prvega vzbujenega stanja vodikovega atoma v homogenem zunanjem električnem polju. Uporabi najnižji red teorije motnje, ki da netrivialne re...

Izračunaj popravke energij in lastne funkcije prvega vzbujenega stanja vodikovega atoma v homogenem zunanjem električnem polju. Uporabi najnižji red teorije motnje, ki da netrivialne rezultate.

Perturbacija I

2009-05-21T11:48:56Z

Povzetek urejanja: New page: # Anharmonski oscilator v prvem približku opišemo s potencialom <math>V(x)=\frac{1}{2}kx^2+cx^4</math>. Izračunaj popravke energij lastnih stanj v prvem redu perturbacije. # Izračunaj ...

# Anharmonski oscilator v prvem približku opišemo s potencialom <math>V(x)=\frac{1}{2}kx^2+cx^4</math>. Izračunaj popravke energij lastnih stanj v prvem redu perturbacije.
# Izračunaj popravke lastnih energij v drugem redu perturbacije za anharmonski oscilator s potencialom <math>V(x)=\frac{1}{2}kx^2+cx^3</math>.

Spin III

2009-05-14T11:43:40Z

Povzetek urejanja: New page: Elektron v homogenem magnetnem polju je v osnovnem stanju (zanimamo se samo za spinski del valovne funkcije). Obravnavaj časovni razvoj sistema, če na elektron deluje kratek sunek magnet...

Elektron v homogenem magnetnem polju je v osnovnem stanju (zanimamo se samo za spinski del valovne funkcije). Obravnavaj časovni razvoj sistema, če na elektron deluje kratek sunek magnetnega polja v smeri pravokotno na stalno magnetno polje, <math>\mathbf{B}(t)=\left(\tilde{B}_x\delta(t),0,B_z\right)</math>.

Seštevanje spinov

2009-05-14T11:39:59Z

Povzetek urejanja: New page: Za delca s spinoma 1 in <math>3/2</math> # zapiši produkno bazo in # izračunaj Clebsch-Gordanove koeficiente za razvoj baznih funkcij z dobrim celotnim spinom in celotno <math>z</math>-...

Za delca s spinoma 1 in <math>3/2</math>
# zapiši produkno bazo in
# izračunaj Clebsch-Gordanove koeficiente za razvoj baznih funkcij z dobrim celotnim spinom in celotno <math>z</math>-komponento spina po produktni bazi.

Delec s spinom <math>S_1=1</math> se giblje v potencialu delca s spinom <math>S_2=3/2</math>. Potencial, ki ga čuti, je odvisen od medsebojne orientacije spinov obeh delcev: <math>V(x)=-\lambda\delta(x)\mathbf{S_1}\cdot\mathbf{S_2}. </math> Določi energije in degeneracije vezanih stanj takega sistema.

Spin II

2009-05-14T11:39:22Z

Povzetek urejanja: New page: Gibanje elektrona v dvodimenzionalnem elektronskem plinu opisuje Hamiltonjan :<math>H_{0}=\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}</math>, kjer je <math>\mathbf{p}=\left(p_{x},p_{y}\right)</math> s <m...

Gibanje elektrona v dvodimenzionalnem elektronskem plinu opisuje Hamiltonjan

:<math>H_{0}=\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}</math>,

kjer je <math>\mathbf{p}=\left(p_{x},p_{y}\right)</math> s <math>p_{x}=-i\hbar\partial_{x}</math> in <math>p_{y}=-i\hbar\partial_{y}</math> operator gibalne količine delca. Določi lastne energije in zapiši lastne funkcije elektrona v dvodimenzionalnem elektronskem plinu!

V nekaterih sistemih igra pomembno vlogo tudi sklopitev med tirno in spinsko vrtilno količino elektrona. Take sisteme opišemo z Rashbinim Hamiltonijanom
:<math>H=H_{0}+\lambda\left(\sigma_{x}p_{y}-\sigma_{y}p_{x}\right)</math>,
kjer sta <math>\sigma_{x}</math> in <math>\sigma_{y}</math> Paulijevi matriki. Kakšne so lastne energije in lastne funkcije elektrona, katerega gibanje opisuje Rashbin Hamiltonjan? Namig: Kot nastavek uporabi spinor
:<math>\psi\left(\mathbf{r}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}</math>,
kjer je <math>\mathbf{r}=\left(x,y\right)</math> položaj delca. V katero smer je obrnjen spin elektrona v lastnih stanjih, ki jih opisuje zgornji nastavek?

Spin I

2009-04-23T11:26:57Z

Povzetek urejanja: New page: #Poišči valovno funkcijo delca s spinom 1/2, pri kateri je spin delca usmerjen v določeno smer v prostoru. #Pokaži, da je vsaka valovna funkcija delca s spinom 1/2 lastna funkcija oper...

#Poišči valovno funkcijo delca s spinom 1/2, pri kateri je spin delca usmerjen v določeno smer v prostoru.
#Pokaži, da je vsaka valovna funkcija delca s spinom 1/2 lastna funkcija operatorja neke projekcije spina.

Vrtilna količina III

2009-04-23T11:26:03Z

Povzetek urejanja: New page: *Zapiši operator vrtilne količine delca z vrtilno količino <math>l=1</math> v matrični obliki v bazi z dobro komponento z vrtilne količine. *Zapiši operator, ki valovno funkcijo z <m...

*Zapiši operator vrtilne količine delca z vrtilno količino <math>l=1</math> v matrični obliki v bazi z dobro komponento z vrtilne količine.
*Zapiši operator, ki valovno funkcijo z <math>l=1</math> zavrti za kot <math>\phi</math> okoli osi y.
*Izračunaj valovno funkcijo delca, katerega vrtilna količina kaže v ravnini xz pod kotom <math>\phi</math> glede na os z.
*Izračunaj pričakovano vrednost komponente z vrtilne količine v tem stanju.

Vrtilna količina II

2009-04-16T11:11:55Z

Povzetek urejanja: New page: Delec je v stanju z valovno funkcijo <math>\psi(\mathbf{r})=Ax^2e^{-\lambda r}</math>. * S kolikšno verjetnostjo pri meritvi komponente z vrtilne količine delca izmerimo vrednost 0? * K...

Delec je v stanju z valovno funkcijo <math>\psi(\mathbf{r})=Ax^2e^{-\lambda r}</math>.
* S kolikšno verjetnostjo pri meritvi komponente z vrtilne količine delca izmerimo vrednost 0?
* Kateri so možni rezultati pri meritvi kvadrata velikosti vrtilne količine? Kakšne so verjetnosti za posamezne rezultate meritve?
* S kolikšno verjetnostjo pri meritvi komponente z vrtilne količine delca izmerimo vrednost 0, če smo prej izmerili kvadrat vrtilne količine?

Vrtilna količina I

2009-04-15T10:52:21Z

Povzetek urejanja: New page: Delec z vrtilno količino l = 1, ki se giblje v krogelno simetričnem potencialu, je v stanju m = 1. Ob t = 0 vklopimo homogeno magnetno polje v ravnini xz pod kotom <math>\phi\;</math> gl...

Delec z vrtilno količino l = 1, ki se giblje v krogelno simetričnem potencialu, je v stanju m = 1. Ob t = 0 vklopimo homogeno magnetno polje v ravnini xz pod kotom <math>\phi\;</math> glede na os z. Kakšna je časovna odvisnost pričakovane vrednosti vrtilne količine?

Dvodimenzionalni harmonski oscilator

2009-04-15T10:51:40Z

Povzetek urejanja:

Obravnavaj lastna stanja dvodimenzionalnega harmonskega oscilatorja

<math>H=\frac{\mathbf{p^2}}{2m}+\frac{1}{2}a_x x^2+\frac{1}{2}a_y y^2 </math>.

V primeru, ko je <math>a_x=a_y</math>, poišči taka lastna stanja, ki so hkrati tudi lastna stanja operatorja vrtilne količine okoli osi <math>z</math>

<math>L_z=-i\hbar\frac{\partial}{\partial \varphi}</math>.

Koherentna stanja harmonskega oscilatorja II

2009-04-01T16:14:36Z

Povzetek urejanja: New page: Delec z nabojem <math>e</math> je v osnovnem stanju harmonskega oscilatorja <math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>. Ob <math>t=0</math> v trenutku vključimo homogeno električno pol...

Delec z nabojem <math>e</math> je v osnovnem stanju harmonskega oscilatorja <math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>. Ob <math>t=0</math> v trenutku vključimo homogeno električno polje <math>E</math>. Kako se s časom spreminjajo pričakovane vrednosti položaja, gibalne količine in energije delca?

Koherentna stanja harmonskega oscilatorja I

2009-04-01T16:14:07Z

Povzetek urejanja: New page: Za delec v koherentnem stanju <math>a\left|z\right\rangle=z\left|z\right\rangle</math> harmonskega oscilatorja <math>H=\hbar\omega\left(a^\dagger a+\frac{1}{2}\right)</math> # izračnuja ...

Za delec v koherentnem stanju <math>a\left|z\right\rangle=z\left|z\right\rangle</math> harmonskega oscilatorja <math>H=\hbar\omega\left(a^\dagger a+\frac{1}{2}\right)</math>
# izračnuja časovni razvoj valovne funkcije,
# izračunaj nedoločenosti položaja in gibalne količine delca,
# zapiši valovno funkcijo v koordinatni reprezentaciji.

Harmonski oscilator

2009-04-01T16:12:19Z

Povzetek urejanja: New page: # Kako se s časom spreminjata pričakovani vrednosti operatorjev <math>x</math> in <math>x^2</math> v stanju <math>\left|\psi,0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle+\...

# Kako se s časom spreminjata pričakovani vrednosti operatorjev <math>x</math> in <math>x^2</math> v stanju <math>\left|\psi,0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right)</math> harmonskega oscilatorja <math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>?
# S pomočjo anihilacijskega in kreacijskega operatorja določi valovni funkciji osnovnega in prvega vzbujenega stanja harmonskega oscilatorja v koordinatni reprezentaciji.
# Izračunaj časovno odvisnost anihilacijskega operatorja <math>a(t)=e^{\frac{iHt}{\hbar}}ae^{-\frac{iHt}{\hbar}}</math> in rezultat uporabi za izračun količin iz naloge 1.

Meritev

2009-04-01T16:08:10Z

Povzetek urejanja:

Obravnavaj delec v harmonskem oscilatorju. Ob <math>t=0</math> je delec v stanju <math>|D\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt{2}</math>, v katerem je verjetnostna gostota v območju <math>x>0</math> večja kot v območju <math>x<0</math>. Obratno velja za stanje <math>|L\rangle=(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt{2}</math>.
# Izračunaj časovni razvoj valovne funkcije delca.
# Pokaži, da sta <math>P_L=|L\rangle\langle L|</math> in <math>P_D=|D\rangle\langle D|</math> operatorja meritve v obravnavanem dvonivojskem sistemu (za operatorje meritve velja <math>\sum P_n=I</math> in <math>P_n P_m=\delta_{nm}P_n</math>).
# Kolikšna je verjetnost, da se po meritvi ob času <math>t</math> delec nahaja v levem (desnem) delu potencialne jame? V kakšnem stanju je delec takoj po meritvi v vsakem od obeh primerov?
# Kolikšna je verjetnost, da se po meritvi ob času <math>t</math> delec nahaja v levem (desnem) delu potencialne jame, če smo pred tem opravili enako meritev ob časih <math>\frac{t}{n}</math>, <math>2\frac{t}{n}</math>, ..., <math>(n-1)\frac{t}{n}</math>, kjer gre <math>n\rightarrow\infty</math>?

Heisenbergovo načelo nedoločenosti II

2009-03-19T20:43:54Z

Povzetek urejanja:

# S pomočjo principa nedoločenosti za lego in gibalno količino oceni energijo osnovnega stanja harmonskega oscilatorja (<math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>).
# Dokaži Baker-Hausdorffovo identiteto: <math>e^A B e^{-A}=B+[A,B]+\frac{1}{2!}[A,[A,B]]+{\ldots}</math>.

Valovni paket II

2009-03-19T20:42:24Z

Povzetek urejanja: New page: Izračunaj časovni razvoj valovnega paketa za delec, ki se giblje v konstantnem potencialu.

Izračunaj časovni razvoj valovnega paketa za delec, ki se giblje v konstantnem potencialu.

Valovni paket I

2009-03-12T13:23:29Z

Povzetek urejanja: New page: Poišči valovno funkcijo z minimalnim produktom nedoločenosti položaja delca in njegove gibalne količine.

Poišči valovno funkcijo z minimalnim produktom nedoločenosti položaja delca in njegove gibalne količine.

Heisenbergovo načelo nedoločenosti

2009-03-12T13:23:04Z

Povzetek urejanja: - prestavitev [[Heisenbergovo načelo nedoločenosti]] na [[Heisenbergovo načelo nedoločenosti I]]

Izpelji Heisenbergov princip nedoločenosti za produkt nedoločenosti dveh opazljivk.

Sipanje na delta potencialu

2009-03-05T12:16:49Z

Povzetek urejanja: New page: # Izpelji operator toka in izračunaj njegovo pričakovano vrednost. # Za delec v potencialu <math>V\left(x\right)=-\lambda\delta\left(x\right)</math> #* izračunaj amplitudi za prepustnos...

# Izpelji operator toka in izračunaj njegovo pričakovano vrednost.
# Za delec v potencialu <math>V\left(x\right)=-\lambda\delta\left(x\right)</math>
#* izračunaj amplitudi za prepustnost in odbojnost in nariši prepustnost v odvisnosti od energije delca
#* iz amplitud za prepustnost in odbojnost določi energije in valovne funkcije vezanih stanj

Delta potencial III

2009-03-05T12:15:50Z

Povzetek urejanja: New page: Obravnavaj vezana stanja delca v potencialu <math>V(x)=-\lambda\delta(x+a/2)-\lambda\delta(x-a/2)</math>. #Zapiši nastavek za valovne funkcije vezanih stanj in robne pogoje. Izpelji enač...

Obravnavaj vezana stanja delca v potencialu <math>V(x)=-\lambda\delta(x+a/2)-\lambda\delta(x-a/2)</math>.
#Zapiši nastavek za valovne funkcije vezanih stanj in robne pogoje. Izpelji enačbo, ki določa lastne energije vezanih stanj delca.
#Dokaži, da pri vsakem razmiku <math>a</math> obstaja vezano stanje. Kdaj obstajata dve vezani stanji?
#Določi energijo osnovnega stanja, če je <math>a</math> zelo velik ali zelo majhen.

Delta potencial I

2009-02-26T11:01:05Z

Povzetek urejanja: New page: # Poišči transcendentni enačbi, ki določata lastne energije delca v lihih in sodih lastnih stanjih končne potencialne jame s širino <math>a</math> in višino <math>V_0</math>, in ju ...

# Poišči transcendentni enačbi, ki določata lastne energije delca v lihih in sodih lastnih stanjih končne potencialne jame s širino <math>a</math> in višino <math>V_0</math>, in ju grafično reši.
# Poišči lastne energije in lastne funkcije v limiti <math>a\rightarrow 0</math> pri čemer je <math>V_0 a</math> konstanten.

Delta potencial II

2009-02-26T10:59:59Z

Povzetek urejanja: New page: Za delec v potencialu <math>V(x)=-\lambda\delta(x)</math> # določi energije in valovne funkcije vezanih stanj # izračunaj produkt nedoločenosti položaja in gibalne količine delca v os...

Za delec v potencialu <math>V(x)=-\lambda\delta(x)</math>
# določi energije in valovne funkcije vezanih stanj
# izračunaj produkt nedoločenosti položaja in gibalne količine delca v osnovnem stanju

Vezana stanja končne potencialne jame

2009-02-25T17:47:19Z

# Poišči transcendentni enačbi, ki določata lastne energije delca v lihih in sodih lastnih stanjih končne potencialne jame s širino <math>a</math> in višino <math>V_0</math>, in ju grafično reši.
# Poišči pogoj za obstoj prvega vzbujenega stanja.
# Določi lastne energije v limiti <math>V_0\rightarrow\infty</math>.

Neskončna potencialna jama

2009-02-25T17:42:57Z

Povzetek urejanja: New page: # Pokaži, da imajo lastne funkcije dobro določeno parnost - so ali sode ali lihe, če je potencial sod <math>V\left(-x\right)=V\left(x\right)</math> in so lastna stanja nedegenerirana. ...

# Pokaži, da imajo lastne funkcije dobro določeno parnost - so ali sode ali lihe, če je potencial sod <math>V\left(-x\right)=V\left(x\right)</math> in so lastna stanja nedegenerirana.
# Poišči lastne energije in lastne funkcije delca v neskončni potencialni jami z dolžino <math>a</math>.
# Delec v neskončni potencialni jami z dolžino <math>a</math> ob času <math>t=0</math> opišemo z valovno funkcijo
#:<math>\psi(x)=A\left(\cos\frac{\pi x}{a}+\frac{1}{2}\sin\frac{2\pi x}{a}\right) </math>.
#* Normaliziraj valovno funkcijo.
#* Izračunaj časovni razvoj valovne funkcije.
#* Kako se s časom spreminja verjetnost, da se delec nahaja v desni polovici potencialne jame?