Kvantna mehanika I 2007 - 2008 - Nove strani [sl]

Spin VII

2008-06-11T16:42:45Z

Povzetek urejanja: New page: == Naloga == Delca s spinoma <math>S_{1}=1</math> in <math>S_{2}=1</math> sta sklopljena s Heisenbergovo interakcijo <math>H=-J\mathbf{S}_{1}\cdot\mathbf{S_{2}}</math>. Z meritvijo, ki jo...

== Naloga ==

Delca s spinoma <math>S_{1}=1</math> in <math>S_{2}=1</math> sta sklopljena s Heisenbergovo interakcijo <math>H=-J\mathbf{S}_{1}\cdot\mathbf{S_{2}}</math>. Z meritvijo, ki jo opravimo ob <math>t=0</math>, ugotovimo, da za valovno funkcijo <math>\left|\psi,0\right\rangle </math> velja <math>S_{1z}\left|\psi,0\right\rangle =\hbar\left|\psi,0\right\rangle </math> in <math>S_{2y}\left|\psi,0\right\rangle =\hbar\left|\psi,0\right\rangle </math>.
#Zapiši valovno funkcijo ob <math>t=0</math> v produktni bazi.
#Razvij valovno funkcijo po bazi z dobro velikostjo celotnega spina in njegovo projekcijo na os <math>z</math>.
#Zapiši časovni razvoj valovne funkcije.
#Kolikšna je verjetnost, da ob meritvi <math>S_{1z}</math> ob času <math>t>0</math> še vedno dobimo rezultat <math>\hbar</math>?

== Rešitev ==

Degenerirana perturbacija IX

2008-06-11T16:34:21Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Obravnavaj lastna stanja dveh delcev s spinoma <math>S_1=1</math> in <math>S_2=1/2</math> in Hamiltonianom
:<math>H=J\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_2+\frac{g\mu_B}{\hbar}\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{B}</math>
perturbativno v limiti, ko je magnetno polje majhno.

== Rešitev ==

Algoritem Deutsch-Jozsa

2008-05-15T14:28:28Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Obravnavaj [http://en.wikipedia.org/wiki/Deutsch-Jozsa_algorithm algoritem Deutsch-Jozsa].

== [[Media:DJalgoritem.pdf|Rešitev]] ==

Kvantna logična vrata

2008-05-15T14:28:12Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

V kvantem računalništvu naletimo na naslednja kvantna vrata, ki jih opišemo z operatorji
:<math>X=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math> (deluje v Hilbertovem prostoru spina 1/2)
:<math>H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}</math> (Hadamardova vrata, deluje v Hilbertovem prostoru spina 1/2)
:<math>CNOT=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math> (deluje v Hilbertovem prostoru dveh spinov 1/2)
# Pokaži, kako lahko s temi operatorji tvorimo Bellova stanja.
# Pokaži, da lahko te operatorje konstruiramo z vklapljanjem magnetnega polja, interakcije med spini in konstantnega potenciala v primerno dolgih časovnih intervalih.

== [[Media:kaučič.pdf|Rešitev]] ==

Časovno odvisna perturbacija VI

2008-05-13T11:30:58Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Delec s spinom 1/2 v homogenem magnetnem polju z gostoto <math>B_z</math> v smeri osi z je ob <math>t=0</math> v stanju <math>\left|\uparrow\right\rangle</math>. Ob <math>t=0</math> v časovnem intervalu <math>\tau</math> vklopimo šibko polje v smeri x: <math>B_x(t)=B_x\frac{t}{\tau}</math>. V prvem redu perturbacije poišči valovno funkcijo delca ob <math>t=\tau</math>. Obravnavaj limiti hitrega in počasnega vklopa dodatnega polja.

==[[Media:naloga kvantna.pdf|Rešitev]]==

Časovno odvisna perturbacija V

2008-05-12T11:12:17Z

Povzetek urejanja: vrnitev sprememb uporabnika »[[Special:Contributions/213.157.91.164|213.157.91.164]]« ([[User talk:213.157.91.164|pogovor]]) na zadnje urejanje uporabnika »Asistent«

== Naloga ==

Vodikov atom je v homogenem električnem polju

<math>E(t)=E_0\frac{1}{1+\left(\frac{t}{\tau}\right)^2}</math>.

Kolikšna je verjetnost, daje atom ob <math>t=\infty</math> v prvem vzbujenem stanju, če je bil ob <math>t=-\infty</math> v osnovnem stanju? Pri katerem <math>\tau</math> je ta verjetnost največja? Predpostavi, da je električno polje dovolj šibko, da lahko uporabiš perturbacijsko teorijo.

==[[Media:casovno_odvisna_perturbacijaV.pdf|Rešitev]] ==

Nika je opazila, da smo na vajah napačno zapisali formulo za popravek v prvem redu časovno odvisne perturbacije. Enačba (4) v poročilu bi se morala glasiti
:<math>\frac{\mathrm{d}c_{nlm}(t)}{\mathrm{d}t}=-\frac{i}{\hbar}\sum_{n^\prime l^\prime m^\prime}\left\langle nlmt\left|V(t)\right|n^\prime l^\prime m^\prime t\right\rangle c_{n^\prime l^\prime m^\prime}(t)</math>
Posledično so napačne tudi enačbe (5) - (11), končni rezultat pa je pravilen. Kot vajo za kolokvij bi predlagal, da sami popravite še ostale napačne enačbe. Lp Tomaž

Časovno odvisna perturbacija IV

2008-05-08T13:48:58Z

Povzetek urejanja: -1

Ac6ViK <a href="http://drmpfckvyhtf.com/">drmpfckvyhtf</a>, [url=http://iqmedfhwlrda.com/]iqmedfhwlrda[/url], [link=http://mlmvdiujohms.com/]mlmvdiujohms[/link], http://aflkosgrpmrv.com/

== [[Media:PorociloCOPIV.pdf|Rešitev]] ==

Vezana stanja v 3D

2008-05-08T13:25:53Z

Povzetek urejanja: New page: == Naloga == Določi pogoje za obstoj vezanih stanj z vrtilno količino 0 in 1 v potencialih *<math>V(\mathbf{r})=-V_0\theta(r_0-r)</math> (končna krogelna potencialna jama) *<math>V(\ma...

== Naloga ==

Določi pogoje za obstoj vezanih stanj z vrtilno količino 0 in 1 v potencialih
*<math>V(\mathbf{r})=-V_0\theta(r_0-r)</math> (končna krogelna potencialna jama)
*<math>V(\mathbf{r})=-V_0\delta(r_0-r)</math> (potencial v obliki funkcije delta na površini krogle)

== Rešitev ==

Časovno odvisna perturbacija II

2008-05-08T13:05:49Z

Povzetek urejanja: New page: == Naloga == Elektron v homogenem magnetnem polju <math>{\mathbf B_0}=(0,0,B_0)</math> je v osnovnem stanju (zanimamo se samo za spinski del valovne funkcije). Ob času <math>t=0</math> z...

== Naloga ==

Elektron v homogenem magnetnem polju <math>{\mathbf B_0}=(0,0,B_0)</math> je v osnovnem stanju (zanimamo se samo za spinski del valovne funkcije). Ob času <math>t=0</math> začnemo na elektron delovati z dodatnim magnetnim poljem <math>{\mathbf B}(t)=(B\cos\omega t, B\sin\omega t,0)</math>. Kolikšna je verjetnost, da je ob času <math>t</math> elektron v vzbujenem stanju? Primerjaj točno rešitev in rezultate perturbacijske teorije.

== Rešitev ==

Časovno odvisna perturbacija I

2008-05-08T13:02:34Z

Povzetek urejanja: New page: == Naloga == Atom z vrstnim številom Z in enim samim elektronom je v osnovnem stanju. Kolikšna je verjetnost, da je po trenutni spremembi naboja jedra, <math>Z\to Z\pm 1</math> (razpad ...

== Naloga ==

Atom z vrstnim številom Z in enim samim elektronom je v osnovnem stanju. Kolikšna je verjetnost, da je po trenutni spremembi naboja jedra, <math>Z\to Z\pm 1</math> (razpad <math>\beta^\mp</math>), atom v 1. vzbujenem stanju? Primerjaj točno rešitev z rešitvijo v 1. redu perturbacije.

== Rešitev ==

Spin VI

2008-05-08T12:52:51Z

Povzetek urejanja: New page: == Naloga == Delca s spinoma <math>S_{1}=1</math> in <math>S_{2}=\frac{1}{2}</math> sta sklopljena s Heisenbergovo interakcijo <math>H=-J\mathbf{S}_{1}\cdot\mathbf{S_{2}}</math>. Z meritv...

== Naloga ==

Delca s spinoma <math>S_{1}=1</math> in <math>S_{2}=\frac{1}{2}</math> sta sklopljena s Heisenbergovo interakcijo <math>H=-J\mathbf{S}_{1}\cdot\mathbf{S_{2}}</math>. Z meritvijo, ki jo opravimo ob <math>t=0</math>, ugotovimo, da za valovno funkcijo <math>\left|\psi,0\right\rangle </math> velja <math>S_{1z}\left|\psi,0\right\rangle =\hbar\left|\psi,0\right\rangle </math> in <math>S_{2x}\left|\psi,0\right\rangle =\frac{\hbar}{2}\left|\psi,0\right\rangle </math>.
#Zapiši valovno funkcijo ob <math>t=0</math> v produktni bazi.
#Razvij valovno funkcijo po bazi z dobro velikostjo celotnega spina in njegovo projekcijo na os <math>z</math>.
#Zapiši časovni razvoj valovne funkcije.
#Kolikšna je verjetnost, da ob meritvi <math>S_{1z}</math> ob času <math>t>0</math> še vedno dobimo rezultat <math>\hbar</math>?

== Rešitev ==

Degenerirana perturbacija VIII

2008-05-08T12:44:02Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Obravnavaj dvodimenzionalni harmonski oscilator
:<math>H_{0}=\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2}+\frac{1}{2}\left(4k\right)y^{2}.</math>
#Kolikokrat je degeneriran energijski nivo z energijo <math>\frac{11}{2}\hbar\omega</math>, kjer je <math>\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}</math>? Zapiši bazo podprostora, ki ustreza temu energijskemu nivoju.
#Kaj se zgodi s stanji tega energijskega nivoja, če na delec poleg harmonskega potenciala deluje še anharmonska motnja <math>H=H_{0}+\lambda x^{2}y</math>?
:Računaj v prvem redu perturbacije!

== Rešitev ==

Sklopitev spin-tir II

2008-05-08T12:38:17Z

Povzetek urejanja: New page: == Naloga == Izračunaj razcep prvega vzbujenega stanja elektrona v izotropnem tridimenzionalnem harmonskem oscilatorju :<math>H=\frac{\mathbf{p^2}}{2m}+\frac{1}{2}a {\mathbf r}^2</math> ...

== Naloga ==

Izračunaj razcep prvega vzbujenega stanja elektrona v izotropnem tridimenzionalnem harmonskem oscilatorju
:<math>H=\frac{\mathbf{p^2}}{2m}+\frac{1}{2}a {\mathbf r}^2</math>
zaradi sklopitve spin-tir <math>H^\prime=\frac{1}{2m^2c^2}\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}</math>.

== Rešitev ==

Sklopitev spin-tir

2008-05-08T12:29:07Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Izračunaj razcep prvega vzbujenega stanja vodikovega atoma zaradi sklopitve spin-tir <math>H^\prime=\frac{1}{2m^2c^2}\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}</math>.

== [[Media:manojlovič.pdf|Rešitev]] ==

Degenerirana perturbacija VII

2008-05-08T12:26:29Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Obravnavaj lastna stanja dveh delcev s spinom 1 in Hamiltonianom
:<math>H=J\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_2+\frac{g\mu_B}{\hbar}\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{B}</math>
perturbativno v limiti, ko je sklopitev med spini <math>J</math> majhna.

== [[Media:Ivančič.pdf|Rešitev]] ==

Degenerirana perturbacija VI

2008-05-08T12:25:31Z

Povzetek urejanja:

Degenerirana perturbacija V

2008-05-08T11:07:47Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Obravnavaj lastna stanja dveh delcev s spinom 1/2 in Hamiltonianom
:<math>H=J\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_2+\frac{g\mu_B}{\hbar}\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{B}</math>
#točno.
#perturbativno v limiti, ko je sklopitev med spini <math>J</math> majhna.

== [[Media:KM-naloga.pdf|Rešitev]] ==

Degenerirana perturbacija IV

2008-05-08T10:24:03Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Izračunaj popravke energij in lastne funkcije prvega vzbujenega stanja izotropnega tridimenzionalnega harmonskega oscilatorja
:<math>H=\frac{\mathbf{p^2}}{2m}+\frac{1}{2}a {\mathbf r}^2</math>
v homogenem zunanjem električnem polju. Uporabi najnižji red teorije motnje, ki da netrivialne rezultate.

== [[Media:kvantnaDenisB.pdf|Rešitev]] ==

Degenerirana perturbacija III

2008-05-08T10:23:22Z

Povzetek urejanja: New page: == Naloga == Izračunaj popravke energij in lastne funkcije drugega vzbujenega stanja izotropnega dvodimenzionalnega harmonskega oscilatorja :<math>H=\frac{\mathbf{p^2}}{2m}+\frac{1}{2}a...

== Naloga ==

Izračunaj popravke energij in lastne funkcije drugega vzbujenega stanja izotropnega dvodimenzionalnega harmonskega oscilatorja
:<math>H=\frac{\mathbf{p^2}}{2m}+\frac{1}{2}a {\mathbf r}^2</math>
v homogenem zunanjem električnem polju. Polje naj bo v ravnini oscilatorja. Uporabi najnižji red teorije motnje, ki da netrivialne rezultate.

== Rešitev ==

Degenerirana perturbacija II

2008-05-08T10:18:53Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Obravnavaj lastna stanja dveh delcev s spinom 1/2 in Hamiltonianom
:<math>H=J\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_2+\frac{g\mu_B}{\hbar}\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{B}</math>
#točno.
#perturbativno v limiti, ko je magnetno polje majhno.

==[[Media:Japelj.pdf|Rešitev]] ==

Degenerirana perturbacija I

2008-05-07T16:03:06Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Izračunaj popravke energij in lastne funkcije prvega vzbujenega stanja vodikovega atoma v homogenem zunanjem električnem polju. Uporabi najnižji red teorije motnje, ki da netrivialne rezultate.

== [[Media:Suhodolcan.pdf|Rešitev]] ==

Perturbacija V

2008-05-07T15:47:36Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Izračunaj popravek energije osnovnega stanja atoma z vrstnim številom <math>Z</math> in enim samim elektronom zaradi končne velikosti jedra. Predpostavi, da je
#naboj jedra enakomerno razporejen po celotni prostornini jedra
#naboj jedra samo na površini jedra.

== [[Media:Krajnik.pdf|Rešitev]] ==

Tridimenzionalni harmonski oscilator II

2008-05-07T15:31:20Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Obravnavaj lastna stanja izotropnega tridimenzionalnega harmonskega oscilatorja
:<math>H=\frac{\mathbf{p^2}}{2m}+\frac{1}{2}a {\mathbf r}^2</math>.
*Za drugo vzbujeno stanje poišči taka lastna stanja, ki so hkrati tudi lastna stanja operatorja vrtilne količine okoli osi <math>z</math> in kvadrata velikosti vrtilne količine.
*Kako se drugo vzbujeno stanje razcepi v homogenem magnetnem polju?

== [[Media:3Dharmonski oscilator.pdf|Rešitev]] ==

Tridimenzionalni harmonski oscilator I

2008-05-07T15:27:33Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Obravnavaj lastna stanja izotropnega tridimenzionalnega harmonskega oscilatorja
:<math>H=\frac{\mathbf{p^2}}{2m}+\frac{1}{2}a {\mathbf r}^2</math>.
*Za prvo vzbujeno stanje poišči taka lastna stanja, ki so hkrati tudi lastna stanja operatorja vrtilne količine okoli osi <math>z</math> in kvadrata velikosti vrtilne količine.
*Kako se prvo vzbujeno stanje razcepi v homogenem magnetnem polju?

== Rešitev ==

Perturbacija IV

2008-05-07T15:23:17Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Oceni popravek energije osnovnega stanja izotropnega dvodimenzionalnega harmonskega oscilatorja
:<math>H=\frac{\mathbf{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}k\mathbf{r}^2</math>
v homogenem zunanjem električnem polju. Uporabi najnižji red teorije motnje, ki da netrivialne rezultate.

== [[Media:Perturbacija_IV.pdf|Rešitev]] ==

Spin V

2008-05-06T16:26:56Z

Povzetek urejanja: New page: == Naloga == Za delca s spin 1 # zapiši produkno bazo in # izračunaj Clebsch-Gordanove koeficiente za razvoj baznih funkcij z dobrim celotnim spinom in celotno <math>z</math>-komponent...

== Naloga ==

Za delca s spin 1
# zapiši produkno bazo in
# izračunaj Clebsch-Gordanove koeficiente za razvoj baznih funkcij z dobrim celotnim spinom in celotno <math>z</math>-komponento spina po produktni bazi.

Delec s spinom <math>S_1=1</math> se giblje v potencialu delca s spinom <math>S_2=1</math>. Potencial, ki ga čuti, je odvisen od medsebojne orientacije spinov obeh delcev: <math>V(x)=-\lambda\delta(x)\mathbf{S_1}\cdot\mathbf{S_2}. </math> Določi energije in degeneracije vezanih stanj takega sistema.

== Rešitev ==

Perturbacija III

2008-05-06T16:24:48Z

Povzetek urejanja: New page: == Naloga == Oceni popravek energije osnovnega stanja izotropnega tridimenzionalnega harmonskega oscilatorja :<math>H=\frac{\mathbf{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}k\mathbf{r}^2</math> v homogenem ...

== Naloga ==

Oceni popravek energije osnovnega stanja izotropnega tridimenzionalnega harmonskega oscilatorja
:<math>H=\frac{\mathbf{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}k\mathbf{r}^2</math>
v homogenem zunanjem električnem polju. Uporabi najnižji red teorije motnje, ki da netrivialne rezultate.

== Rešitev ==

Perturbacija II

2008-05-05T21:44:42Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Oceni popravek energije osnovnega stanja vodikovega atoma v homogenem zunanjem električnem polju. Uporabi najnižji red teorije motnje, ki da netrivialne rezultate.

== [[Media:kvantna.pdf|Rešitev]] ==

Perturbacija I

2008-05-05T20:23:42Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

# Anharmonski oscilator v prvem približku opišemo s potencialom <math>V(x)=\frac{1}{2}kx^2+cx^4</math>. Izračunaj popravke energij lastnih stanj v prvem redu perturbacije.
# Izračunaj popravke lastnih energij v drugem redu perturbacije za anharmonski oscilator s potencialom <math>V(x)=\frac{1}{2}kx^2+cx^3</math>.

== [[Media:Kvanta1.pdf|Rešitev]] ==

Spin IV

2008-05-05T20:23:04Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

V sistemu sta dva delca s spinom 1. Prvemu izmerimo komponento spina v smeri osi <math>x</math>, drugemu pa komponento spina v smeri osi <math>y</math>. Rezultat meritve (meritev A) je v obeh primerih <math>\hbar</math>.
#Za vsakega od obeh delcev zapiši valovno funkcijo po meritvi v bazi z dobrima velikostjo spina delca in njegovo komponento v smeri osi <math>z</math>.
#Zapiši skupno valovno funkcijo obeh delcev v bazi z dobrima velikostima spinov vsakega od delcev in dobrima komponentama obeh spinov v smeri osi <math>z</math>.
#Po meritvi A na sistemu obeh delcev opravimo meritev skupne komponente spina v smeri osi <math>z</math> (meritev B). S kolikšno verjetnostjo dobimo rezultat <math>2\hbar</math>?
#S kolikšno verjetnostjo pa izmerimo kvadrat velikosti skupne vrtilne količine enak 0, če to meritev opravimo
#*po meritvi A?
#*po meritvi B, pri kateri dobimo rezultat <math>2\hbar</math>?

== [[Media:Spin4_martin2.pdf|Rešitev]] ==

Spin III

2008-05-05T14:07:18Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Za delca s spinoma 1 in <math>3/2</math>
# zapiši produkno bazo in
# izračunaj Clebsch-Gordanove koeficiente za razvoj baznih funkcij z dobrim celotnim spinom in celotno <math>z</math>-komponento spina po produktni bazi.

Delec s spinom <math>S_1=1</math> se giblje v potencialu delca s spinom <math>S_2=3/2</math>. Potencial, ki ga čuti, je odvisen od medsebojne orientacije spinov obeh delcev: <math>V(x)=-\lambda\delta(x)\mathbf{S_1}\cdot\mathbf{S_2}. </math> Določi energije in degeneracije vezanih stanj takega sistema.

== [[Media:Delač.pdf|Rešitev]] ==

Spin II

2008-05-04T22:54:52Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Gibanje elektrona v dvodimenzionalnem elektronskem plinu opisuje Hamiltonjan

:<math>H_{0}=\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}</math>,

kjer je <math>\mathbf{p}=\left(p_{x},p_{y}\right)</math> s <math>p_{x}=-i\hbar\partial_{x}</math> in <math>p_{y}=-i\hbar\partial_{y}</math> operator gibalne količine delca. Določi lastne energije in zapiši lastne funkcije elektrona v dvodimenzionalnem elektronskem plinu!

V nekaterih sistemih igra pomembno vlogo tudi sklopitev med tirno in spinsko vrtilno količino elektrona. Take sisteme opišemo z Rashbinim Hamiltonijanom
:<math>H=H_{0}+\lambda\left(\sigma_{x}p_{y}-\sigma_{y}p_{x}\right)</math>,
kjer sta <math>\sigma_{x}</math> in <math>\sigma_{y}</math> Paulijevi matriki. Kakšne so lastne energije in lastne funkcije elektrona, katerega gibanje opisuje Rashbin Hamiltonjan? Namig: Kot nastavek uporabi spinor
:<math>\psi\left(\mathbf{r}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}</math>,
kjer je <math>\mathbf{r}=\left(x,y\right)</math> položaj delca. V katero smer je obrnjen spin elektrona v lastnih stanjih, ki jih opisuje zgornji nastavek?

== [[Media:Spin2b.pdf|Rešitev]] ==

Spin I

2008-05-04T22:39:31Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

# Poišči valovno funkcijo delca s spinom 1/2, pri kateri je spin delca usmerjen v določeno smer v prostoru.
# Pokaži, da je vsaka valovna funkcija delca s spinom 1/2 lastna funkcija operatorja neke projekcije spina.

== [[Media:Grum.pdf|Rešitev]] ==

Vrtilna količina V

2008-04-17T11:41:54Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Kot [[Vrtilna količina II]], le da naj bo magnetno polje v ravnini yz.

==[[Media:Eržen.pdf|Rešitev]] ==

Vrtilna količina IV

2008-04-17T11:40:35Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Kot [[Vrtilna količina I]], le da naj bo magnetno polje v ravnini yz.

== [[Media:Ilievski.pdf|Rešitev]] ==

Dvodimenzionalni harmonski oscilator II

2008-04-17T11:10:07Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Obravnavaj lastna stanja izotropnega dvodimenzionalnega harmonskega oscilatorja
:<math>H=\frac{\mathbf{p^2}}{2m}+\frac{1}{2}a {\mathbf r}^2</math>.
*Za drugo vzbujeno stanje poišči taka lastna stanja, ki so hkrati tudi lastna stanja operatorja vrtilne količine okoli osi <math>z</math>.
*Kako se drugo vzbujeno stanje razcepi v homogenem magnetnem polju?

== [[Media:2Dharm_osc_II.pdf|Rešitev]] ==

Vrtilna količina III

2008-04-17T10:48:23Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Delec je v stanju z valovno funkcijo <math>\psi(\mathbf{r})=Ax^2e^{-\lambda r}</math>.
* S kolikšno verjetnostjo pri meritvi komponente z vrtilne količine delca izmerimo vrednost 0?
* Kateri so možni rezultati pri meritvi kvadrata velikosti vrtilne količine? Kakšne so verjetnosti za posamezne rezultate meritve?
* S kolikšno verjetnostjo pri meritvi komponente z vrtilne količine delca izmerimo vrednost 0, če smo prej izmerili kvadrat vrtilne količine?

== [[Media:DNvrtilna3.pdf|Rešitev]] ==

Vrtilna količina II

2008-04-02T11:18:03Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

*Zapiši operator, ki transformira valovno funkcijo v podprostoru <math>l=1</math> iz baze lastnih funkcij operatorja <math>L_z</math> v bazo lastnih funkcij operatorja <math>L^\prime_z</math>, kjer je kot med osema <math>z</math> in <math>z^\prime</math> enak <math>\varphi</math>.
*Delec z vrtilno količino l = 1, ki se giblje v krogelno simetričnem potencialu, je v stanju m = 1. Ob t = 0 vklopimo homogeno magnetno polje v ravnini xz pod kotom <math>\varphi</math> glede na os z. Ob času <math>\pi/\omega_L</math> (<math>\omega_L</math> je Larmorjeva frekvenca) izmerimo projekcijo vrtilne količine delca na os z. Kolikšna je pričakovana vrednost meritve? S kolikšno verjetnostjo dobimo katerega od možnih rezultatov meritve?

== [[Media:Podergajs.pdf|Rešitev]] ==

Vrtilna količina I

2008-04-02T11:17:38Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Delec z vrtilno količino l = 1, ki se giblje v krogelno simetričnem potencialu, je v stanju m = 1. Ob t = 0 vklopimo homogeno magnetno polje v ravnini xz pod kotom <math>\phi\;</math> glede na os z. Kakšna je časovna odvisnost pričakovane vrednosti vrtilne količine?

== [[Media:jklucar.pdf|Rešitev]] ==

Dvodimenzionalni harmonski oscilator

2008-03-27T10:51:19Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Obravnavaj lastna stanja dvodimenzionalnega harmonskega oscilatorja

<math>H=\frac{\mathbf{p^2}}{2m}+\frac{1}{2}a_x x^2+\frac{1}{2}a_y y^2 </math>.

V primeru, ko je <math>a_x=a_y</math>, poišči taka lastna stanja, ki so hkrati tudi lastna stanja operatorja vrtilne količine okoli osi <math>z</math>

<math>L_z=-i\hbar\frac{\partial}{\partial z}</math>.

== [[Media:Golež.pdf|Rešitev]] ==

Koherentna stanja harmonskega oscilatorja II

2008-03-20T18:30:36Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Delec z nabojem <math>e</math> je v osnovnem stanju harmonskega oscilatorja <math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>. Ob <math>t=0</math> v trenutku vključimo homogeno električno polje <math>E</math>. Kako se s časom spreminjajo pričakovane vrednosti položaja, gibalne količine in energije delca?

== Rešitev ==

S klasično mehaniko bi ta problem lahko predstavljal žogico, nabito z nabojem <math>e^+\,\!</math>, ki je pritrjena na vzmet s konstanto vzmeti <math>k\,\!</math>, v času <math>t=0\,\!</math> vključimo zunanje električno polje <math>\vec E\,\!</math>, ki kaže v smeri vzmeti. Žogica se potem odmakne za <math>\delta \vec x = \frac{e\vec E}{k}</math> in začne nihati s frekvenco <math>\omega =\frac{k}{m}\,\!</math>, tako da sta pričakovani vrednosti položaja in gibalne količine: <math><x(t)>=\delta x-\delta x\cos(\omega t)=\delta x(1-\cos(\omega t))\,\!</math> in <math><p(t)>=m<\dot x(t)>=m\omega\delta x\sin(\omega t)</math>. Pričakovana vrednost energije pa je: <math>W=\frac{k\delta x^2}{2}</math>.

==Reševanje v kvantni mehaniki==

Stanja oscilatorja(nabitega delca) bodo za čase <math>t<0</math>, opisovale količine brez vijuge, za čase <math>t\ge 0</math> pa količine z vijugo.

<math>t<0\,\!</math>:

<math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>

<math>t\ge 0</math>:

<math>\tilde{H}=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}+e\phi(x)</math>

<math>\vec E=-\nabla\phi(x)</math>, ker je <math>\vec E =konst=-\nabla\phi(x)</math> in je <math> \vec E =(E_x,0,0) </math> je <math>\phi(x)=-E_xx\,\!</math> <math>\Rightarrow \tilde{H}=\frac {p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}-eE_xx </math> Člen <math>\frac{kx^2}{2}-eE_xx</math> bom zapisal kot
<math>\frac{kx^2}{2}-eE_xx=\frac{k}{2}(x-\frac{eE_x}{k})^2-\frac{e^2E_x^2}{2k}</math> in ga še polepšam z novima oznakama <math>\delta x=\frac{eE_x}{k}</math> in <math>\delta E=\frac{e^2E_x^2}{2k}</math> da dobim: <math>\frac{kx^2}{2}-eE_xx=\frac{k}{2}(x-\delta x)^2-\delta E</math>

Povezava med <math>x\,\!</math> '''''in''''' <math>\tilde{x}\,\!</math>:

<math>\tilde{x}=x-\delta x</math> -za novo izhodišče koordinatnega sistema po vklopu polja sem izbral novo mirovno lego delca, ki je prvotne legepremaknjena za <math>\delta x\,\!</math> v desno.

<math>\tilde{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial \tilde{x}}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial (x-\delta x)}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \Rightarrow \tilde{p}=p</math>, operator gibalne količine se ne spremeni!

Z novimi koordinatami se hamilton zapiše:

<math>\tilde{H}=\frac{\tilde{p}^2}{2m}+\frac{k\tilde{x}^2}{2}-\delta E=\frac{p^2}{2m}+\frac{k\tilde{x}^2}{2}-\delta E</math>
----
<math>H=\hbar\omega(a^\dagger a+\frac{1}{2})</math>

<math>\tilde{H}=\hbar\tilde{\omega}(\tilde{a}^\dagger \tilde{a}+\frac{1}{2})-\delta E</math>

Ker se frekvenca po vklopu polja ne spremeni je <math>\tilde{\omega}=\omega</math> zato je <math>\tilde{H}=\hbar\omega(\tilde{a}^\dagger\tilde{a}+\frac{1}{2})-\delta E</math>

Povezava med <math>a\,\!</math> in <math>\tilde{a}\,\!</math>:

<math>a=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{x}{x_0}+i\frac{p}{p_0})</math>

<math>\tilde{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\tilde{x}}{x_0}+i\frac{\tilde{p}}{p_0})=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{x-\delta x}{x_0}+i\frac{p}{p_0})=a-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0} \Rightarrow \tilde{a}=a-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}</math>
----
Na začetku: <math>a|\psi\rangle=0</math>, delec je v osnovnem stanju starega <math>H\,\!</math>.

<math>0=a|\psi(0)\rangle=(\tilde{a}+\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0})|\psi(0)\rangle \Rightarrow \tilde{a}|\psi(0)\rangle=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}|\psi(0)\rangle \Rightarrow \text{staro stanje je koherentno stanje novega hamiltona }\tilde{a}\psi(0)=z\psi(0) \text{; }</math>

<math>z=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}</math>

Za koherentna stanja <math>z\,\!</math> velja:

#<math>a|z\rangle=z|z\rangle</math>
#<math><x>=\sqrt{2}x_0Re(z)</math>
#<math>=\sqrt{2}p_0Im(z)</math>

Za našo nalogo bom potreboval prejšnje tri lastnosti, ampak za časovno odvisna koherentna stanja, tako da jih bom še malo predelal:

<math>|z\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(-\frac{|z|^2}{2})\frac{z^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle\,\!</math> -razvoj koherenčnega stanja po lastnih funkcijah hamiltonovega operatorja

<math>|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(-\frac{iE_n}{\hbar}t)\exp(-\frac{|z|^2}{2})\frac{z^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle\,\!</math> -za časovni razvoj samo dodamo člen <math>\exp(-\frac{iE_n}{\hbar}t)\,\!</math>, <math>E_n\,\!</math> je v naši nalogi <math>\hbar\omega(n+\frac{1}{2})-\delta E\,\!</math>

<math>|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-i\omega(n+\frac{1}{2}))\exp(-\frac{|z|^2}{2})\frac{z^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle</math>

Ker je <math>|\exp(-i\omega t)|=1\,\!</math> in je zato <math>|z|=|z||\exp(-i\omega t)|=|z\exp(-i\omega t)|\,\!</math>, bom v zgornjo enačbo za <math>z\,\!</math> vstavil <math>|z|=|z\exp(-i\omega t)|\,\!</math>:

<math>|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-i\omega(n+\frac{1}{2}))\exp(-\frac{|z\exp(-i\omega t)|^2}{2})\frac{z^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle=</math>

<math>=|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-\frac{i\omega}{2})\exp\left(-\frac{|z\exp(-i\omega t)|^2}{2}\right)\frac{(z\exp(-i\omega t))^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle</math>

Konstanto <math>\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-\frac{i\omega}{2})</math> bom označil z <math>A\,\!</math> in <math>z\exp(-i\omega t)\,\!</math> z <math>u\,\!</math>.Tako je:
<math>|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}A\exp(-\frac{|u|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle\,\!</math>

Vemo, da velja <math>\tilde{a}\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{|u|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle= u\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{|u|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle</math>, ker je <math>\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{|u|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle</math> razvoj koherentnega stanja za <math>\tilde{a}\,\!</math> po lastnih funkcijah hamiltonovega operatorja.

To upoštevam v našem primeru:

<math>|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}A\exp\left(-\frac{|u|^2}{2}\right)\frac{u^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle</math> in
<math>\tilde{a}|z,t\rangle=\tilde{a}\sum_{n=0}^{\infty}A\exp\left(-\frac{|u|^2}{2}\right)\frac{u^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle=
u\sum_{n=0}^{\infty}A\exp\left(-\frac{|u|^2}{2}\right)\frac{u^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle \Rightarrow u=z\exp(-i\omega t)</math> je koherentna vrednost za
<math>|z,t\rangle</math>, nazaj pogledam vrednost za z: <math>z=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}\,\!</math>, potem je <math>u=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}\exp(-i\omega t)</math>

Pričakovana vrednost položaja:

<math><\tilde{x}>=\sqrt{2}x_0Re(u)=\sqrt{2}x_0(-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}\cos(\omega t))=-\delta x\cos(\omega t)</math> in
<math><x>=\delta x(1-\cos(\omega t))\,\!</math>

Pričakovana vrednost gibalne količine:

Ehrenfestov teorem: <math>=m<\dot x></math>

<math>=m<\dot x>=m\omega\delta x\sin(\omega t)</math> -izračunana z ehrenfestovim teoremom.

Iz lastnosti koherentnih stanj: <math>=\sqrt{2}p_0Im(u)=\sqrt{2}p_0(\frac{\delta x}{\sqrt{2}x_0}\sin(\omega t))=\frac{\sqrt{2}\hbar\delta x}{\sqrt{2}x_0^2}\sin(\omega t)=m\omega\delta x\sin(\omega t)</math> -upošteval sem, da je <math>p_0=\frac{\hbar}{x_0}</math> in
<math>x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}</math> torej je <math>=m\omega\delta x
\sin \omega t\,\!</math>, kar se ujema s klasičnim rezultatom in ehrenfestovim teoremom.

Koherentna stanja harmonskega oscilatorja I

2008-03-20T18:27:14Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Za delec v koherentnem stanju <math>a\left|z\right\rangle=z\left|z\right\rangle</math> harmonskega oscilatorja <math>H=\hbar\omega\left(a^\dagger a+\frac{1}{2}\right)</math>
# izračnuja časovni razvoj valovne funkcije,
# izračunaj nedoločenosti položaja in gibalne količine delca,
# zapiši valovno funkcijo v koordinatni reprezentaciji.

== [[Media:Dergan.pdf|Rešitev]]==

Valovni paket II

2008-03-13T17:48:47Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Izračunaj časovni razvoj valovnega paketa za delec, ki se giblje v konstantnem potencialu.

== [[Media:valovnipaket2.pdf|Rešitev]] ==

Valovni paket I

2008-03-13T17:47:53Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Poišči valovno funkcijo z minimalnim produktom nedoločenosti položaja delca in njegove gibalne količine.

== [[Media:Valovni_paket1.pdf|Rešitev]] ==

Valovni paket

2008-03-12T19:44:47Z

Povzetek urejanja: New page: == Naloga == #Poišči valovno funkcijo z minimalnim produktom nedoločenosti položaja delca in njegove gibalne količine. #Izračunaj časovni razvoj te valovne funkcije za delec v kons...

== Naloga ==

#Poišči valovno funkcijo z minimalnim produktom nedoločenosti položaja delca in njegove gibalne količine.
#Izračunaj časovni razvoj te valovne funkcije za delec v konstantnem potencialu.

== Rešitev ==

Harmonski oscilator

2008-03-12T19:42:40Z

Povzetek urejanja: pravopis

== Naloga ==

# Kako se s časom spreminjata pričakovani vrednosti operatorjev <math>x</math> in <math>x^2</math> v stanju <math>\left|\psi,0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right)</math> harmonskega oscilatorja <math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>?
# S pomočjo anihilacijskega in kreacijskega operatorja določi valovni funkciji osnovnega in prvega vzbujenega stanja harmonskega oscilatorja v koordinatni reprezentaciji.

== Rešitev ==

Hamiltonovo funkcijo za harmonski oscilator lahko namesto z operatorjema lege in gibalne količine izrazimo kot funkcijo anihilacijskega ter kreacijskega (ki je kar adjungirani anihilacijski operator) operatorja
:<math>H = \hbar \omega (a^{\dagger}a + \frac{1}{2})</math>,
pri čemer je <math>\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}</math> , anihalicijski operator pa je enak
:<math>a = \frac{1}{\sqrt 2} (\frac{x}{x_0} + i \frac{p}{p_0})</math> ,
pri čemer je <math>x_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}</math>, <math>p_0 = \frac{\hbar}{x_0}</math> .

Lastnim funkcijam oz. stanjem harmonskega oscilatorja (<math>\left|0\right\rangle</math> , <math>\left| 1\right\rangle</math>, <math>\left|2\right\rangle</math>, ....) ustrezajo določene diskretne vrednosti energije <math>E_n</math>, ki predstavljajo lastne vrednosti Hamiltonovega operatorja
:<math>H \left| n\right\rangle = E_n \left| n\right\rangle</math> .

Vrednosti teh energij določa enačba
:<math>E_n = \hbar \omega (n + \frac{1}{2})</math> .

Kako anihalicijski ter kreacijski operator delujeta na lastne funkcije podajajo naslednje zveze:
*<math>a\left| 0\right\rangle = 0</math>
*<math>a\left| n\right\rangle = \sqrt n \left| n-1\right\rangle</math>
*<math>a^{\dagger}\left| 0\right\rangle = | 1\rangle</math> (na vajah smo narobe pisali le 1)
*<math>a^{\dagger}\left| n\right\rangle = \sqrt {n+1} \left|
n+1\right\rangle</math> .

Časovni razvoj dane valovne funkcije je enak:
:<math>|\psi,t\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |0\rangle e^{-i\frac{E_{0}}{\hbar}t} + |1\rangle e^{-i\frac{E_{1}}{\hbar}t} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + |1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) </math> .
Iz definicij anihilacijskega ter kreacijskega operatorja izrazimo operator lege
:<math>x = \frac{x_0}{\sqrt 2} (a + a^{\dagger})</math>
in uporabimo pri izračunu časovne odvisnosti pričakovane lege
:<math>\langle x(t) \rangle = \langle \psi | x \psi \rangle =\frac{x_0}{\sqrt 2} (\langle a \rangle + \langle a^{\dagger} \rangle) =\frac{x_0}{\sqrt 2} 2 Re(\langle a \rangle) = \sqrt 2 x_0 Re(\langle a\rangle)</math> .

Tako je potrebno izračunati pričakovano vrednost anihilacijskega operatorja
:<math>\langle a \rangle = \langle \psi | a \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \langle 0| e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \langle 1| e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) | a \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + |1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right)</math>.

Anihilacijski operator a deluje na funkcijo psi (desni oklepaj) po zgoraj navedenih pravilih
:<math>\langle a \rangle = \frac{1}{2} \left( \langle 0| e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \langle 1| e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) \left( 0 + \sqrt 1 |0\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t}\right)</math> .

Nato se pri množenju upošteva ortogonalnost in normiranost lastnih funkcij
:<math>\langle a \rangle = \frac{1}{2}\left( e^{i\frac{\omega}{2}t - i\frac{3\omega}{2}t} + 0\right) = \frac{1}{2} e^{-i\omega t}</math> .

To vstavimo v izraz za pričakovano vrednost lege in upoštevamo, da je realni del eksponenta kosinus in dobimo
:<math>\langle x(t) \rangle = \frac{x_0 \sqrt 2}{2} \cos{\omega t}</math> .

Podobno izračunamo pričakovano vrednost kvadrata lege:
:<math>\langle x(t)^2 \rangle = \langle \psi | x^2 \psi \rangle = \langle \frac{x_0^2}{2}(a + a^{\dagger})^2\rangle = \frac{x_0^2}{2} \langle (a + a^{\dagger})^2\rangle = \frac{x_0^2}{2} (\langle a a\rangle + \langle a a^{\dagger}\rangle + \langle a^{\dagger} a\rangle + \langle a^{\dagger} a^{\dagger}\rangle)</math> .

Nato preoblikujemo izraz v
:<math>\langle x(t)^2 \rangle = \frac{x_0^2}{2} (2 Re(\langle a^2\rangle ) + \langle 2 a a^{\dagger}\rangle - 1)</math> ,
pri čemer uporabimo dejstvo, da je komutator anihilacijskega ter kreacijskega operatorja enak 1
:<math>\left[ a,a^{\dagger} \right] = aa^{\dagger} - a^{\dagger}a = 1</math> .

Podobno kot <math>\langle a\rangle</math> poračunamo tudi <math>\langle a^2\rangle</math>, to je dvakrat delujemo z opeatorjem a na funkcijo <math>\psi</math>, kar da po zgoraj zapisanih formulah rezultat 0.

Tako je potrebno poračunati le še
:<math>\langle a a^{\dagger}\rangle = \langle \psi | a a^{\dagger} \psi \rangle = \langle a^{\dagger}\psi | a^{\dagger} \psi \rangle</math> ,
kjer je bra enak ketu, le da ima kompleksno konjugirane koeficiente. Kot za operator <math>a</math> poračunamo
:<math>| a^{\dagger} \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} (\sqrt{0+1}|0+1\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \sqrt{1+1} | 1+1 \rangle e^{-i3\frac{\omega}{2}t}) = \frac{1}{\sqrt 2} (|1\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \sqrt{2} | 2 \rangle e^{-i3\frac{\omega}{2}t})</math> .

Tako dobimo:
:<math>\langle a^{\dagger}\psi | a^{\dagger} \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} \frac{1}{\sqrt 2} (\langle 1|e^{i\frac{\omega}{2}t} + \sqrt 2 \langle 2 | e^{i3\frac{\omega}{2}t})(|1\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \sqrt{2} | 2 \rangle e^{-i3\frac{\omega}{2}t}) = \frac{1}{2}(\langle 1|1\rangle e^0 +0 + 0 + 2\langle2|2\rangle e^0) = \frac{3}{2}</math> ,
pri čemer smo zopet upoštevali ortonormiranost lastnih funkcij.

Pričakovana vrednost kvadrata odmika je tako
:<math>\langle x(t)^2 \rangle = \frac{x_0^2}{2}(2\frac{3}{2} - 1) = x_0^2</math> .

<hr>

Diracov zapis <math>a|0\rangle = 0</math> prevedemo v koordinatni zapis
:<math>\frac{1}{\sqrt 2}(\frac{x}{x_0} + i\frac{p}{p_0})\psi_0 (x) = 0</math> ,
rešitev te diferencialne enačbe pa je
:<math>\psi (x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x_0^2 \pi}}e^{- \frac{x^2}{2x_0^2}}</math> .

Podobno
:<math>a^{\dagger}|0\rangle = |1\rangle \Rightarrow \frac{1}{\sqrt 2}(\frac{x}{x_0} + i\frac{p}{p_0})\psi_0 (x) = \psi_1 (x) = \frac{1}{\sqrt 2}(\frac{x}{x_0} - \frac{\hbar}{p_0} \frac{\partial}{\partial x})\psi_0 (x) = \frac{1}{\sqrt 2}(\frac{x}{x_0} - x_0 \frac{\partial}{\partial x})\psi_0 (x) =</math>
:<math>= \frac{x}{x_0 \sqrt{2} \sqrt[4]{x_0^2 \pi}}e^{- \frac{x^2}{2x_0^2}} - \frac{x_0}{\sqrt{2} \sqrt[4]{x_0^2 \pi}}\left( - \frac{2 x}{x_0^2}\right) e^{- \frac{x^2}{2x_0^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt[4]{x_0^2 \pi}}e^{- \frac{x^2}{2x_0^2}}(\frac{x}{x_0} + \frac{x}{x_0})</math> .

Rezultat:
:<math>\psi_1 (x) = \sqrt 2 \frac{x}{x_0} \psi_0</math> .

Sipanje na končni potencialni jami II

2008-03-06T15:21:05Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Obravnavaj prepustnost pri sipanju na potencialni jami širine <math>a</math> in globine <math>V_0</math> v limiti <math>\sqrt{\frac{2mV_0a^2}{\hbar^2}}\gg 1</math>.
# Pokaži, da ima prepustnost pri energijah malo nad robom potencialne jame resonance, ki jih lahko opišemo z Lorentzovo krivuljo.
# Pokaži, da ima amplituda za prepustnost pole pri energijah <math>E_n-i\frac{\Gamma_n}{2}</math>, kjer so <math>E_n</math> in <math>\Gamma_n</math> energije in širine resonanc v prepustnosti. Kakšna lastna stanja ustrezajo tem polom?
# Kako sta povezana razpadni čas kvazivezanega stanja in širina ustrezne resonance?

== [[Media:Krnel.pdf|Rešitev]] ==

Heisenbergov princip nedoločenosti

2008-03-06T15:17:56Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

Izpelji Heisenbergov princip nedoločenosti za produkt nedoločenosti dveh opazljivk.

== [[Media:Naloga.pdf|Rešitev]] ==

Sipanje na delta potencialu

2008-02-28T10:40:39Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

# Izpelji operator toka in izračunaj njegovo pričakovano vrednost.
# Za delec v potencialu <math>V\left(x\right)=-\lambda\delta\left(x\right)</math>
#* izračunaj amplitudi za prepustnost in odbojnost in nariši prepustnost v odvisnosti od energije delca
#* iz amplitud za prepustnost in odbojnost določi energije in valovne funkcije vezanih stanj

== [[Media:Mele.pdf|Rešitev]] ==

Sipanje na končni potencialni jami I

2008-02-28T10:36:46Z

Povzetek urejanja:

== Naloga ==

# Izračunaj amplitudo za prepustnost končne potencialne jame z globino <math>V_0</math> in širino <math>a</math>.
# Pri katerih energijah je prepustnost jame enaka 1?

== [[Media:Lovric.pdf|Rešitev]] ==