Koherentna stanja harmonskega oscilatorja II - Zgodovina strani

92.37.9.154 ob 17:39, 23 april 2008

92.37.9.154 — Wed, 23 Apr 2008 17:39:56 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 17:39, 23 april 2008
Vrstica 5:		Vrstica 5:
	== Rešitev ==		== Rešitev ==

-	S klasično mehaniko bi ta problem lahko predstavljal žogico, nabito z nabojem <math>e^+\,\!</math>, ki je pritrjena na vzmet s konstanto vzmeti <math>k\,\!</math>, v času <math>t=0\,\!</math> vključimo zunanje električno polje <math>\vec E\,\!</math>, ki kaže v smeri vzmeti. Žogica se potem odmakne za <math>\delta \vec x = \frac{e\vec E}{k}</math> in začne nihati s frekvenco <math>\omega =\frac{k}{m}\,\!</math>, tako da sta pričakovani vrednosti položaja in gibalne količine: <math><x(t)>=\delta x-\delta x\cos(\omega t)=\delta x(1-\cos(\omega t))\,\!</math> in <math><p(t)>=m<\dot x(t)>=m\omega\delta x\sin(\omega t)</math>. Pričakovana vrednost energije pa je: <math>W=\frac{k\delta x^2}{2}</math>, pričakovane vrednosti se s časom ne spreminjajo.	+	S klasično mehaniko bi ta problem lahko predstavljal žogico, nabito z nabojem <math>e^+\,\!</math>, ki je pritrjena na vzmet s konstanto vzmeti <math>k\,\!</math>, v času <math>t=0\,\!</math> vključimo zunanje električno polje <math>\vec E\,\!</math>, ki kaže v smeri vzmeti. Žogica se potem odmakne za <math>\delta \vec x = \frac{e\vec E}{k}</math> in začne nihati s frekvenco <math>\omega =\frac{k}{m}\,\!</math>, tako da sta pričakovani vrednosti položaja in gibalne količine: <math><x(t)>=\delta x-\delta x\cos(\omega t)=\delta x(1-\cos(\omega t))\,\!</math> in <math><p(t)>=m<\dot x(t)>=m\omega\delta x\sin(\omega t)</math>. Pričakovana vrednost energije pa je: <math>W=\frac{k\delta x^2}{2}</math>.

	==Reševanje v kvantni mehaniki==		==Reševanje v kvantni mehaniki==

92.37.9.154 ob 17:39, 23 april 2008

92.37.9.154 — Wed, 23 Apr 2008 17:39:18 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 17:39, 23 april 2008
Vrstica 5:		Vrstica 5:
	== Rešitev ==		== Rešitev ==

-	S klasično mehaniko bi ta problem lahko predstavljal žogico, nabito z nabojem <math>e^+\,\!</math>, ki je pritrjena na vzmet s konstanto vzmeti <math>k\,\!</math>, v času <math>t=0\,\!</math> vključimo zunanje električno polje <math>\vec E\,\!</math>, ki kaže v smeri vzmeti. Žogica se potem odmakne za <math>\delta \vec x = \frac{e\vec E}{k}</math> in tam obmiruje, tako da je pričakovana vrednost položaja delca v klasičnem primeru <math>\delta \vec x = \frac{e\vec E}{k}</math>, pričakovana vrednost gibalne količine <math>\vec p=0\,\!</math> in pričakovana vrednost energije <math>W=\frac{k\delta x^2}{2}</math>, pričakovane vrednosti se s časom ne spreminjajo.	+	S klasično mehaniko bi ta problem lahko predstavljal žogico, nabito z nabojem <math>e^+\,\!</math>, ki je pritrjena na vzmet s konstanto vzmeti <math>k\,\!</math>, v času <math>t=0\,\!</math> vključimo zunanje električno polje <math>\vec E\,\!</math>, ki kaže v smeri vzmeti. Žogica se potem odmakne za <math>\delta \vec x = \frac{e\vec E}{k}</math> in začne nihati s frekvenco <math>\omega =\frac{k}{m}\,\!</math>, tako da sta pričakovani vrednosti položaja in gibalne količine: <math><x(t)>=\delta x-\delta x\cos(\omega t)=\delta x(1-\cos(\omega t))\,\!</math> in <math><p(t)>=m<\dot x(t)>=m\omega\delta x\sin(\omega t)</math>. Pričakovana vrednost energije pa je: <math>W=\frac{k\delta x^2}{2}</math>, pričakovane vrednosti se s časom ne spreminjajo.

	==Reševanje v kvantni mehaniki==		==Reševanje v kvantni mehaniki==
Vrstica 91:		Vrstica 91:
	Ehrenfestov teorem: <math><p>=m<\dot x></math>		Ehrenfestov teorem: <math><p>=m<\dot x></math>

-	<math><p>=m<\dot x>=m\sin(\omega t)</math> -izračunana z ehrenfestovim teoremom.	+	<math><p>=m<\dot x>=m\omega\delta x\sin(\omega t)</math> -izračunana z ehrenfestovim teoremom.

	Iz lastnosti koherentnih stanj: <math><p>=\sqrt{2}p_0Im(u)=\sqrt{2}p_0(\frac{\delta x}{\sqrt{2}x_0}\sin(\omega t))=\frac{\sqrt{2}\hbar\delta x}{\sqrt{2}x_0^2}\sin(\omega t)=m\omega\delta x\sin(\omega t)</math> -upošteval sem, da je <math>p_0=\frac{\hbar}{x_0}</math> in		Iz lastnosti koherentnih stanj: <math><p>=\sqrt{2}p_0Im(u)=\sqrt{2}p_0(\frac{\delta x}{\sqrt{2}x_0}\sin(\omega t))=\frac{\sqrt{2}\hbar\delta x}{\sqrt{2}x_0^2}\sin(\omega t)=m\omega\delta x\sin(\omega t)</math> -upošteval sem, da je <math>p_0=\frac{\hbar}{x_0}</math> in
	<math>x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}</math> torej je <math><p>=m\omega\delta x		<math>x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}</math> torej je <math><p>=m\omega\delta x
-	\sin \omega t\,\!</math>, kar je isto kot rezultat izračunan z ehrenfestovim teoremom.	+	\sin \omega t\,\!</math>, kar se ujema s klasičnim rezultatom in ehrenfestovim teoremom.

193.2.4.4 ob 11:08, 23 april 2008

193.2.4.4 — Wed, 23 Apr 2008 11:08:12 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 11:08, 23 april 2008
Vrstica 13:		Vrstica 13:
	<math>t<0\,\!</math>:		<math>t<0\,\!</math>:

-	<math>\tilde{H}=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>	+	<math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>

	<math>t\ge 0</math>:		<math>t\ge 0</math>:
Vrstica 19:		Vrstica 19:
	<math>\tilde{H}=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}+e\phi(x)</math>		<math>\tilde{H}=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}+e\phi(x)</math>

-	<math>\vec E=-\nabla\phi(x)</math>, ker je <math>\vec E =konst=-\nabla\phi(x)</math> in je <math> \vec E =(E_x,0,0) </math> je <math>\phi(x)=-E_xx\,\!</math> <math>\Rightarrow H=\frac {p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}-eE_xx </math> Člen <math>\frac{kx^2}{2}-eE_xx</math> bom zapisal kot	+	<math>\vec E=-\nabla\phi(x)</math>, ker je <math>\vec E =konst=-\nabla\phi(x)</math> in je <math> \vec E =(E_x,0,0) </math> je <math>\phi(x)=-E_xx\,\!</math> <math>\Rightarrow \tilde{H}=\frac {p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}-eE_xx </math> Člen <math>\frac{kx^2}{2}-eE_xx</math> bom zapisal kot
	<math>\frac{kx^2}{2}-eE_xx=\frac{k}{2}(x-\frac{eE_x}{k})^2-\frac{e^2E_x^2}{2k}</math> in ga še polepšam z novima oznakama <math>\delta x=\frac{eE_x}{k}</math> in <math>\delta E=\frac{e^2E_x^2}{2k}</math> da dobim: <math>\frac{kx^2}{2}-eE_xx=\frac{k}{2}(x-\delta x)^2-\delta E</math>		<math>\frac{kx^2}{2}-eE_xx=\frac{k}{2}(x-\frac{eE_x}{k})^2-\frac{e^2E_x^2}{2k}</math> in ga še polepšam z novima oznakama <math>\delta x=\frac{eE_x}{k}</math> in <math>\delta E=\frac{e^2E_x^2}{2k}</math> da dobim: <math>\frac{kx^2}{2}-eE_xx=\frac{k}{2}(x-\delta x)^2-\delta E</math>

193.2.4.4 ob 11:07, 23 april 2008

193.2.4.4 — Wed, 23 Apr 2008 11:07:31 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 11:07, 23 april 2008
Vrstica 13:		Vrstica 13:
	<math>t<0\,\!</math>:		<math>t<0\,\!</math>:

-	<math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>	+	<math>\tilde{H}=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>

	<math>t\ge 0</math>:		<math>t\ge 0</math>:

-	<math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}+e\phi(x)</math>	+	<math>\tilde{H}=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}+e\phi(x)</math>

	<math>\vec E=-\nabla\phi(x)</math>, ker je <math>\vec E =konst=-\nabla\phi(x)</math> in je <math> \vec E =(E_x,0,0) </math> je <math>\phi(x)=-E_xx\,\!</math> <math>\Rightarrow H=\frac {p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}-eE_xx </math> Člen <math>\frac{kx^2}{2}-eE_xx</math> bom zapisal kot		<math>\vec E=-\nabla\phi(x)</math>, ker je <math>\vec E =konst=-\nabla\phi(x)</math> in je <math> \vec E =(E_x,0,0) </math> je <math>\phi(x)=-E_xx\,\!</math> <math>\Rightarrow H=\frac {p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}-eE_xx </math> Člen <math>\frac{kx^2}{2}-eE_xx</math> bom zapisal kot

193.2.4.4 ob 11:06, 23 april 2008

193.2.4.4 — Wed, 23 Apr 2008 11:06:13 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 11:06, 23 april 2008
Vrstica 73:		Vrstica 73:
	<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}A\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle\,\!</math>		<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}A\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle\,\!</math>

-	Vemo, da velja <math>\tilde{a}\|\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle= u\|\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math>, ker je <math>\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math> razvoj koherentnega stanja za <math>\tilde{a}\,\!</math> po lastnih funkcijah hamiltonovega operatorja.	+	Vemo, da velja <math>\tilde{a}\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle= u\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math>, ker je <math>\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math> razvoj koherentnega stanja za <math>\tilde{a}\,\!</math> po lastnih funkcijah hamiltonovega operatorja.

	To upoštevam v našem primeru:		To upoštevam v našem primeru:

	<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}A\exp\left(-\frac{\|u\|^2}{2}\right)\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math> in		<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}A\exp\left(-\frac{\|u\|^2}{2}\right)\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math> in
-	<math>\tilde{a}\|z,t\rangle=\tilde{a}\|\sum_{n=0}^{\infty}A\exp\left(-\frac{\|u\|^2}{2}\right)\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle=	+	<math>\tilde{a}\|z,t\rangle=\tilde{a}\sum_{n=0}^{\infty}A\exp\left(-\frac{\|u\|^2}{2}\right)\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle=
-	u\|\sum_{n=0}^{\infty}A\exp\left(-\frac{\|u\|^2}{2}\right)\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle \Rightarrow u=z\exp(-i\omega t)</math> je koherentna vrednost za	+	u\sum_{n=0}^{\infty}A\exp\left(-\frac{\|u\|^2}{2}\right)\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle \Rightarrow u=z\exp(-i\omega t)</math> je koherentna vrednost za
	<math>\|z,t\rangle</math>, nazaj pogledam vrednost za z: <math>z=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}\,\!</math>, potem je <math>u=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}\exp(-i\omega t)</math>		<math>\|z,t\rangle</math>, nazaj pogledam vrednost za z: <math>z=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}\,\!</math>, potem je <math>u=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}\exp(-i\omega t)</math>

193.2.4.4 ob 11:04, 23 april 2008

193.2.4.4 — Wed, 23 Apr 2008 11:04:18 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 11:04, 23 april 2008
Vrstica 66:		Vrstica 66:
	Ker je <math>\|\exp(-i\omega t)\|=1\,\!</math> in je zato <math>\|z\|=\|z\|\|\exp(-i\omega t)\|=\|z\exp(-i\omega t)\|\,\!</math>, bom v zgornjo enačbo za <math>z\,\!</math> vstavil <math>\|z\|=\|z\exp(-i\omega t)\|\,\!</math>:		Ker je <math>\|\exp(-i\omega t)\|=1\,\!</math> in je zato <math>\|z\|=\|z\|\|\exp(-i\omega t)\|=\|z\exp(-i\omega t)\|\,\!</math>, bom v zgornjo enačbo za <math>z\,\!</math> vstavil <math>\|z\|=\|z\exp(-i\omega t)\|\,\!</math>:

-	<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-i\omega(n+\frac{1}{2}))\exp(-\frac{\|z\exp(-i\omega t)\|^2}{2})\frac{z^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle=</math>	+	<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-i\omega(n+\frac{1}{2}))\exp(-\frac{\|z\exp(-i\omega t)\|^2}{2})\frac{z^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle=</math>

	<math>=\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-\frac{i\omega}{2})\exp\left(-\frac{\|z\exp(-i\omega t)\|^2}{2}\right)\frac{(z\exp(-i\omega t))^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math>		<math>=\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-\frac{i\omega}{2})\exp\left(-\frac{\|z\exp(-i\omega t)\|^2}{2}\right)\frac{(z\exp(-i\omega t))^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math>

	Konstanto <math>\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-\frac{i\omega}{2})</math> bom označil z <math>A\,\!</math> in <math>z\exp(-i\omega t)\,\!</math> z <math>u\,\!</math>.Tako je:		Konstanto <math>\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-\frac{i\omega}{2})</math> bom označil z <math>A\,\!</math> in <math>z\exp(-i\omega t)\,\!</math> z <math>u\,\!</math>.Tako je:
-	<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}{\infty}A\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle\,\!</math>	+	<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}A\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle\,\!</math>

	Vemo, da velja <math>\tilde{a}\|\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle= u\|\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math>, ker je <math>\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math> razvoj koherentnega stanja za <math>\tilde{a}\,\!</math> po lastnih funkcijah hamiltonovega operatorja.		Vemo, da velja <math>\tilde{a}\|\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle= u\|\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math>, ker je <math>\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math> razvoj koherentnega stanja za <math>\tilde{a}\,\!</math> po lastnih funkcijah hamiltonovega operatorja.

92.37.7.15 ob 18:21, 22 april 2008

92.37.7.15 — Tue, 22 Apr 2008 18:21:04 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 18:21, 22 april 2008
Vrstica 19:		Vrstica 19:
	<math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}+e\phi(x)</math>		<math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}+e\phi(x)</math>

-	<math>\vec E=-\nabla\phi(x)</math>, ker je <math>\vec E =konst=-\nabla\phi(x)</math> in je <math> \vec E =(E_x,0,0) </math> je <math>\phi(x)=-E_xx\,\!</math> <math>\Rightarrow H=\frac {p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}-eEx </math> Člen <math>\frac{kx^2}{2}-eEx</math> bom zapisal kot	+	<math>\vec E=-\nabla\phi(x)</math>, ker je <math>\vec E =konst=-\nabla\phi(x)</math> in je <math> \vec E =(E_x,0,0) </math> je <math>\phi(x)=-E_xx\,\!</math> <math>\Rightarrow H=\frac {p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}-eE_xx </math> Člen <math>\frac{kx^2}{2}-eE_xx</math> bom zapisal kot
-	<math>\frac{kx^2}{2}-eEx=\frac{k}{2}(x-\frac{eE}{k})^2-\frac{e^2E^2}{2k}</math> in ga še polepšam z novima oznakama <math>\delta x=\frac{eE}{k}</math> in <math>\delta E=\frac{e^2E^2}{2k}</math> da dobim: <math>\frac{kx^2}{2}-eEx=\frac{k}{2}(x-\delta x)^2-\delta E</math>	+	<math>\frac{kx^2}{2}-eE_xx=\frac{k}{2}(x-\frac{eE_x}{k})^2-\frac{e^2E_x^2}{2k}</math> in ga še polepšam z novima oznakama <math>\delta x=\frac{eE_x}{k}</math> in <math>\delta E=\frac{e^2E_x^2}{2k}</math> da dobim: <math>\frac{kx^2}{2}-eE_xx=\frac{k}{2}(x-\delta x)^2-\delta E</math>

	Povezava med <math>x\,\!</math> '''''in''''' <math>\tilde{x}\,\!</math>:		Povezava med <math>x\,\!</math> '''''in''''' <math>\tilde{x}\,\!</math>:
Vrstica 46:		Vrstica 46:
	Na začetku: <math>a\|\psi\rangle=0</math>, delec je v osnovnem stanju starega <math>H\,\!</math>.		Na začetku: <math>a\|\psi\rangle=0</math>, delec je v osnovnem stanju starega <math>H\,\!</math>.

-	<math>0=a\|\psi(0)\rangle=(\tilde{a}+\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0})\|\psi(0)\rangle \Rightarrow \tilde{a}\|\psi(0)\rangle=-\frac{1}{sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}\|\psi(0)\rangle \Rightarrow \text{staro stanje je koherentno stanje novega hamiltona }\tilde{a}\psi(0)=z\psi(0) \text{; }</math>	+	<math>0=a\|\psi(0)\rangle=(\tilde{a}+\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0})\|\psi(0)\rangle \Rightarrow \tilde{a}\|\psi(0)\rangle=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}\|\psi(0)\rangle \Rightarrow \text{staro stanje je koherentno stanje novega hamiltona }\tilde{a}\psi(0)=z\psi(0) \text{; }</math>

	<math>z=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}</math>		<math>z=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}</math>

92.37.14.166 ob 17:25, 22 april 2008

92.37.14.166 — Tue, 22 Apr 2008 17:25:33 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 17:25, 22 april 2008
Vrstica 4:		Vrstica 4:

	== Rešitev ==		== Rešitev ==
		+
		+	S klasično mehaniko bi ta problem lahko predstavljal žogico, nabito z nabojem <math>e^+\,\!</math>, ki je pritrjena na vzmet s konstanto vzmeti <math>k\,\!</math>, v času <math>t=0\,\!</math> vključimo zunanje električno polje <math>\vec E\,\!</math>, ki kaže v smeri vzmeti. Žogica se potem odmakne za <math>\delta \vec x = \frac{e\vec E}{k}</math> in tam obmiruje, tako da je pričakovana vrednost položaja delca v klasičnem primeru <math>\delta \vec x = \frac{e\vec E}{k}</math>, pričakovana vrednost gibalne količine <math>\vec p=0\,\!</math> in pričakovana vrednost energije <math>W=\frac{k\delta x^2}{2}</math>, pričakovane vrednosti se s časom ne spreminjajo.
		+
		+	==Reševanje v kvantni mehaniki==
		+
		+	Stanja oscilatorja(nabitega delca) bodo za čase <math>t<0</math>, opisovale količine brez vijuge, za čase <math>t\ge 0</math> pa količine z vijugo.
		+
		+	<math>t<0\,\!</math>:
		+
		+	<math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>
		+
		+	<math>t\ge 0</math>:
		+
		+	<math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}+e\phi(x)</math>
		+
		+	<math>\vec E=-\nabla\phi(x)</math>, ker je <math>\vec E =konst=-\nabla\phi(x)</math> in je <math> \vec E =(E_x,0,0) </math> je <math>\phi(x)=-E_xx\,\!</math> <math>\Rightarrow H=\frac {p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}-eEx </math> Člen <math>\frac{kx^2}{2}-eEx</math> bom zapisal kot
		+	<math>\frac{kx^2}{2}-eEx=\frac{k}{2}(x-\frac{eE}{k})^2-\frac{e^2E^2}{2k}</math> in ga še polepšam z novima oznakama <math>\delta x=\frac{eE}{k}</math> in <math>\delta E=\frac{e^2E^2}{2k}</math> da dobim: <math>\frac{kx^2}{2}-eEx=\frac{k}{2}(x-\delta x)^2-\delta E</math>
		+
		+	Povezava med <math>x\,\!</math> '''''in''''' <math>\tilde{x}\,\!</math>:
		+
		+	<math>\tilde{x}=x-\delta x</math> -za novo izhodišče koordinatnega sistema po vklopu polja sem izbral novo mirovno lego delca, ki je prvotne legepremaknjena za <math>\delta x\,\!</math> v desno.
		+
		+	<math>\tilde{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial \tilde{x}}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial (x-\delta x)}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \Rightarrow \tilde{p}=p</math>, operator gibalne količine se ne spremeni!
		+
		+	Z novimi koordinatami se hamilton zapiše:
		+
		+	<math>\tilde{H}=\frac{\tilde{p}^2}{2m}+\frac{k\tilde{x}^2}{2}-\delta E=\frac{p^2}{2m}+\frac{k\tilde{x}^2}{2}-\delta E</math>
		+	----
		+	<math>H=\hbar\omega(a^\dagger a+\frac{1}{2})</math>
		+
		+	<math>\tilde{H}=\hbar\tilde{\omega}(\tilde{a}^\dagger \tilde{a}+\frac{1}{2})-\delta E</math>
		+
		+	Ker se frekvenca po vklopu polja ne spremeni je <math>\tilde{\omega}=\omega</math> zato je <math>\tilde{H}=\hbar\omega(\tilde{a}^\dagger\tilde{a}+\frac{1}{2})-\delta E</math>
		+
		+	Povezava med <math>a\,\!</math> in <math>\tilde{a}\,\!</math>:
		+
		+	<math>a=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{x}{x_0}+i\frac{p}{p_0})</math>
		+
		+	<math>\tilde{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\tilde{x}}{x_0}+i\frac{\tilde{p}}{p_0})=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{x-\delta x}{x_0}+i\frac{p}{p_0})=a-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0} \Rightarrow \tilde{a}=a-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}</math>
		+	----
		+	Na začetku: <math>a\|\psi\rangle=0</math>, delec je v osnovnem stanju starega <math>H\,\!</math>.
		+
		+	<math>0=a\|\psi(0)\rangle=(\tilde{a}+\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0})\|\psi(0)\rangle \Rightarrow \tilde{a}\|\psi(0)\rangle=-\frac{1}{sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}\|\psi(0)\rangle \Rightarrow \text{staro stanje je koherentno stanje novega hamiltona }\tilde{a}\psi(0)=z\psi(0) \text{; }</math>
		+
		+	<math>z=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}</math>
		+
		+	Za koherentna stanja <math>z\,\!</math> velja:
		+
		+	#<math>a\|z\rangle=z\|z\rangle</math>
		+	#<math><x>=\sqrt{2}x_0Re(z)</math>
		+	#<math><p>=\sqrt{2}p_0Im(z)</math>
		+
		+	Za našo nalogo bom potreboval prejšnje tri lastnosti, ampak za časovno odvisna koherentna stanja, tako da jih bom še malo predelal:
		+
		+	<math>\|z\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(-\frac{\|z\|^2}{2})\frac{z^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle\,\!</math> -razvoj koherenčnega stanja po lastnih funkcijah hamiltonovega operatorja
		+
		+	<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(-\frac{iE_n}{\hbar}t)\exp(-\frac{\|z\|^2}{2})\frac{z^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle\,\!</math> -za časovni razvoj samo dodamo člen <math>\exp(-\frac{iE_n}{\hbar}t)\,\!</math>, <math>E_n\,\!</math> je v naši nalogi <math>\hbar\omega(n+\frac{1}{2})-\delta E\,\!</math>
		+
		+	<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-i\omega(n+\frac{1}{2}))\exp(-\frac{\|z\|^2}{2})\frac{z^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math>
		+
		+	Ker je <math>\|\exp(-i\omega t)\|=1\,\!</math> in je zato <math>\|z\|=\|z\|\|\exp(-i\omega t)\|=\|z\exp(-i\omega t)\|\,\!</math>, bom v zgornjo enačbo za <math>z\,\!</math> vstavil <math>\|z\|=\|z\exp(-i\omega t)\|\,\!</math>:
		+
		+	<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-i\omega(n+\frac{1}{2}))\exp(-\frac{\|z\exp(-i\omega t)\|^2}{2})\frac{z^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle=</math>
		+
		+	<math>=\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-\frac{i\omega}{2})\exp\left(-\frac{\|z\exp(-i\omega t)\|^2}{2}\right)\frac{(z\exp(-i\omega t))^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math>
		+
		+	Konstanto <math>\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-\frac{i\omega}{2})</math> bom označil z <math>A\,\!</math> in <math>z\exp(-i\omega t)\,\!</math> z <math>u\,\!</math>.Tako je:
		+	<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}{\infty}A\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle\,\!</math>
		+
		+	Vemo, da velja <math>\tilde{a}\|\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle= u\|\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math>, ker je <math>\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math> razvoj koherentnega stanja za <math>\tilde{a}\,\!</math> po lastnih funkcijah hamiltonovega operatorja.
		+
		+	To upoštevam v našem primeru:
		+
		+	<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}A\exp\left(-\frac{\|u\|^2}{2}\right)\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math> in
		+	<math>\tilde{a}\|z,t\rangle=\tilde{a}\|\sum_{n=0}^{\infty}A\exp\left(-\frac{\|u\|^2}{2}\right)\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle=
		+	u\|\sum_{n=0}^{\infty}A\exp\left(-\frac{\|u\|^2}{2}\right)\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle \Rightarrow u=z\exp(-i\omega t)</math> je koherentna vrednost za
		+	<math>\|z,t\rangle</math>, nazaj pogledam vrednost za z: <math>z=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}\,\!</math>, potem je <math>u=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}\exp(-i\omega t)</math>
		+
		+	Pričakovana vrednost položaja:
		+
		+	<math><\tilde{x}>=\sqrt{2}x_0Re(u)=\sqrt{2}x_0(-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}\cos(\omega t))=-\delta x\cos(\omega t)</math> in
		+	<math><x>=\delta x(1-\cos(\omega t))\,\!</math>
		+
		+	Pričakovana vrednost gibalne količine:
		+
		+	Ehrenfestov teorem: <math><p>=m<\dot x></math>
		+
		+	<math><p>=m<\dot x>=m\sin(\omega t)</math> -izračunana z ehrenfestovim teoremom.
		+
		+	Iz lastnosti koherentnih stanj: <math><p>=\sqrt{2}p_0Im(u)=\sqrt{2}p_0(\frac{\delta x}{\sqrt{2}x_0}\sin(\omega t))=\frac{\sqrt{2}\hbar\delta x}{\sqrt{2}x_0^2}\sin(\omega t)=m\omega\delta x\sin(\omega t)</math> -upošteval sem, da je <math>p_0=\frac{\hbar}{x_0}</math> in
		+	<math>x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}</math> torej je <math><p>=m\omega\delta x
		+	\sin \omega t\,\!</math>, kar je isto kot rezultat izračunan z ehrenfestovim teoremom.

212.235.211.117 ob 18:31, 20 marec 2008

212.235.211.117 — Thu, 20 Mar 2008 18:31:28 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 18:31, 20 marec 2008
Vrstica 1:		Vrstica 1:
	== Naloga ==		== Naloga ==

-	Delec z nabojem <math>e</math> je v osnovnem stanju harmonskega oscilatorja <math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>. Ob <math>t=0</math> v trenutku vključimo homogeno električno polje <math>E</math>. Kako se s ćčasom spreminjajo pričakovane vrednosti položaja, gibalne količine in energije delca?	+	Delec z nabojem <math>e</math> je v osnovnem stanju harmonskega oscilatorja <math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>. Ob <math>t=0</math> v trenutku vključimo homogeno električno polje <math>E</math>. Kako se s časom spreminjajo pričakovane vrednosti položaja, gibalne količine in energije delca?

	== Rešitev ==		== Rešitev ==

212.235.211.117: New page: == Naloga == Delec z nabojem $e$ je v osnovnem stanju harmonskega oscilatorja $H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}$ . Ob $t=0$ v trenutku vključimo homogeno e...

212.235.211.117 — Thu, 20 Mar 2008 18:30:36 GMT

New page: == Naloga == Delec z nabojem <math>e</math> je v osnovnem stanju harmonskega oscilatorja <math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>. Ob <math>t=0</math> v trenutku vključimo homogeno e...

Nova stran

== Naloga ==

Delec z nabojem <math>e</math> je v osnovnem stanju harmonskega oscilatorja <math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>. Ob <math>t=0</math> v trenutku vključimo homogeno električno polje <math>E</math>. Kako se s ćčasom spreminjajo pričakovane vrednosti položaja, gibalne količine in energije delca?

== Rešitev ==

← Starejša redakcija		Redakcija: 11:06, 23 april 2008
Vrstica 73:		Vrstica 73:
	<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}A\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle\,\!</math>		<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}A\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle\,\!</math>

-	Vemo, da velja <math>\tilde{a}\|\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle= u\|\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math>, ker je <math>\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math> razvoj koherentnega stanja za <math>\tilde{a}\,\!</math> po lastnih funkcijah hamiltonovega operatorja.	+	Vemo, da velja <math>\tilde{a}\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle= u\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math>, ker je <math>\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math> razvoj koherentnega stanja za <math>\tilde{a}\,\!</math> po lastnih funkcijah hamiltonovega operatorja.

	To upoštevam v našem primeru:		To upoštevam v našem primeru:

	<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}A\exp\left(-\frac{\|u\|^2}{2}\right)\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math> in		<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}A\exp\left(-\frac{\|u\|^2}{2}\right)\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math> in
-	<math>\tilde{a}\|z,t\rangle=\tilde{a}\|\sum_{n=0}^{\infty}A\exp\left(-\frac{\|u\|^2}{2}\right)\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle=	+	<math>\tilde{a}\|z,t\rangle=\tilde{a}\sum_{n=0}^{\infty}A\exp\left(-\frac{\|u\|^2}{2}\right)\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle=
-	u\|\sum_{n=0}^{\infty}A\exp\left(-\frac{\|u\|^2}{2}\right)\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle \Rightarrow u=z\exp(-i\omega t)</math> je koherentna vrednost za	+	u\sum_{n=0}^{\infty}A\exp\left(-\frac{\|u\|^2}{2}\right)\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle \Rightarrow u=z\exp(-i\omega t)</math> je koherentna vrednost za
	<math>\|z,t\rangle</math>, nazaj pogledam vrednost za z: <math>z=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}\,\!</math>, potem je <math>u=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}\exp(-i\omega t)</math>		<math>\|z,t\rangle</math>, nazaj pogledam vrednost za z: <math>z=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}\,\!</math>, potem je <math>u=-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta x}{x_0}\exp(-i\omega t)</math>

← Starejša redakcija		Redakcija: 11:04, 23 april 2008
Vrstica 66:		Vrstica 66:
	Ker je <math>\|\exp(-i\omega t)\|=1\,\!</math> in je zato <math>\|z\|=\|z\|\|\exp(-i\omega t)\|=\|z\exp(-i\omega t)\|\,\!</math>, bom v zgornjo enačbo za <math>z\,\!</math> vstavil <math>\|z\|=\|z\exp(-i\omega t)\|\,\!</math>:		Ker je <math>\|\exp(-i\omega t)\|=1\,\!</math> in je zato <math>\|z\|=\|z\|\|\exp(-i\omega t)\|=\|z\exp(-i\omega t)\|\,\!</math>, bom v zgornjo enačbo za <math>z\,\!</math> vstavil <math>\|z\|=\|z\exp(-i\omega t)\|\,\!</math>:

-	<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-i\omega(n+\frac{1}{2}))\exp(-\frac{\|z\exp(-i\omega t)\|^2}{2})\frac{z^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle=</math>	+	<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-i\omega(n+\frac{1}{2}))\exp(-\frac{\|z\exp(-i\omega t)\|^2}{2})\frac{z^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle=</math>

	<math>=\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-\frac{i\omega}{2})\exp\left(-\frac{\|z\exp(-i\omega t)\|^2}{2}\right)\frac{(z\exp(-i\omega t))^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math>		<math>=\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-\frac{i\omega}{2})\exp\left(-\frac{\|z\exp(-i\omega t)\|^2}{2}\right)\frac{(z\exp(-i\omega t))^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math>

	Konstanto <math>\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-\frac{i\omega}{2})</math> bom označil z <math>A\,\!</math> in <math>z\exp(-i\omega t)\,\!</math> z <math>u\,\!</math>.Tako je:		Konstanto <math>\exp(\frac{i\delta E}{\hbar}t)\exp(-\frac{i\omega}{2})</math> bom označil z <math>A\,\!</math> in <math>z\exp(-i\omega t)\,\!</math> z <math>u\,\!</math>.Tako je:
-	<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}{\infty}A\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle\,\!</math>	+	<math>\|z,t\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}A\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle\,\!</math>

	Vemo, da velja <math>\tilde{a}\|\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle= u\|\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math>, ker je <math>\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math> razvoj koherentnega stanja za <math>\tilde{a}\,\!</math> po lastnih funkcijah hamiltonovega operatorja.		Vemo, da velja <math>\tilde{a}\|\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle= u\|\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math>, ker je <math>\sum_{n=0}^\infty\exp(-\frac{\|u\|^2}{2})\frac{u^n}{\sqrt{n!}}\|n\rangle</math> razvoj koherentnega stanja za <math>\tilde{a}\,\!</math> po lastnih funkcijah hamiltonovega operatorja.

Koherentna stanja harmonskega oscilatorja II - Zgodovina strani

92.37.9.154 ob 17:39, 23 april 2008

92.37.9.154 ob 17:39, 23 april 2008

193.2.4.4 ob 11:08, 23 april 2008

193.2.4.4 ob 11:07, 23 april 2008

193.2.4.4 ob 11:06, 23 april 2008

193.2.4.4 ob 11:04, 23 april 2008

92.37.7.15 ob 18:21, 22 april 2008

92.37.14.166 ob 17:25, 22 april 2008

212.235.211.117 ob 18:31, 20 marec 2008

212.235.211.117: New page: == Naloga == Delec z nabojem e je v osnovnem stanju harmonskega oscilatorja H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}. Ob t=0 v trenutku vključimo homogeno e...

212.235.211.117: New page: == Naloga == Delec z nabojem $e$ je v osnovnem stanju harmonskega oscilatorja $H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}$ . Ob $t=0$ v trenutku vključimo homogeno e...