Harmonski oscilator - Zgodovina strani

89.142.56.30: pravopis

2008-07-25T11:47:23Z

pravopis

← Starejša redakcija		Redakcija: 11:47, 25 julij 2008
Vrstica 18:		Vrstica 18:
	:<math>E_n = \hbar \omega (n + \frac{1}{2})</math> .		:<math>E_n = \hbar \omega (n + \frac{1}{2})</math> .

-	Kako anihalicijski ter kreacijski operator delujeta na lastne funkcije podajajo naslednje zvaze:	+	Kako anihalicijski ter kreacijski operator delujeta na lastne funkcije podajajo naslednje zveze:
	*<math>a\left\| 0\right\rangle = 0</math>		*<math>a\left\| 0\right\rangle = 0</math>
	*<math>a\left\| n\right\rangle = \sqrt n \left\| n-1\right\rangle</math>		*<math>a\left\| n\right\rangle = \sqrt n \left\| n-1\right\rangle</math>

195.210.208.3 ob 20:41, 28 marec 2008

2008-03-28T20:41:34Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 20:41, 28 marec 2008
Vrstica 21:		Vrstica 21:
	*<math>a\left\| 0\right\rangle = 0</math>		*<math>a\left\| 0\right\rangle = 0</math>
	*<math>a\left\| n\right\rangle = \sqrt n \left\| n-1\right\rangle</math>		*<math>a\left\| n\right\rangle = \sqrt n \left\| n-1\right\rangle</math>
-	*<math>a^{\dagger}\left\| 0\right\rangle = 1</math>	+	*<math>a^{\dagger}\left\| 0\right\rangle = \| 1\rangle</math> (na vajah smo narobe pisali le 1)
	*<math>a^{\dagger}\left\| n\right\rangle = \sqrt {n+1} \left\|		*<math>a^{\dagger}\left\| n\right\rangle = \sqrt {n+1} \left\|
	n+1\right\rangle</math> .		n+1\right\rangle</math> .
Vrstica 55:		Vrstica 55:

	Tako je potrebno poračunati le še		Tako je potrebno poračunati le še
-	:<math>\langle a a^{\dagger}\rangle = \langle \psi \| a a^{\dagger} \psi \rangle = \langle a^{\dagger}\psi \| a^{\dagger} \psi \rangle</math> .	+	:<math>\langle a a^{\dagger}\rangle = \langle \psi \| a a^{\dagger} \psi \rangle = \langle a^{\dagger}\psi \| a^{\dagger} \psi \rangle</math> ,
		+	kjer je bra enak ketu, le da ima kompleksno konjugirane koeficiente. Kot za operator <math>a</math> poračunamo
		+	:<math>\| a^{\dagger} \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} (\sqrt{0+1}\|0+1\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \sqrt{1+1} \| 1+1 \rangle e^{-i3\frac{\omega}{2}t}) = \frac{1}{\sqrt 2} (\|1\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \sqrt{2} \| 2 \rangle e^{-i3\frac{\omega}{2}t})</math> .

-	(Nadaljevanje še sledi...)	+	Tako dobimo:
		+	:<math>\langle a^{\dagger}\psi \| a^{\dagger} \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} \frac{1}{\sqrt 2} (\langle 1\|e^{i\frac{\omega}{2}t} + \sqrt 2 \langle 2 \| e^{i3\frac{\omega}{2}t})(\|1\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \sqrt{2} \| 2 \rangle e^{-i3\frac{\omega}{2}t}) = \frac{1}{2}(\langle 1\|1\rangle e^0 +0 + 0 + 2\langle2\|2\rangle e^0) = \frac{3}{2}</math> ,
		+	pri čemer smo zopet upoštevali ortonormiranost lastnih funkcij.
		+
		+	Pričakovana vrednost kvadrata odmika je tako
		+	:<math>\langle x(t)^2 \rangle = \frac{x_0^2}{2}(2\frac{3}{2} - 1) = x_0^2</math> .
		+
		+	<hr>
		+
		+	Diracov zapis <math>a\|0\rangle = 0</math> prevedemo v koordinatni zapis
		+	:<math>\frac{1}{\sqrt 2}(\frac{x}{x_0} + i\frac{p}{p_0})\psi_0 (x) = 0</math> ,
		+	rešitev te diferencialne enačbe pa je
		+	:<math>\psi (x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x_0^2 \pi}}e^{- \frac{x^2}{2x_0^2}}</math> .
		+
		+	Podobno
		+	:<math>a^{\dagger}\|0\rangle = \|1\rangle \Rightarrow \frac{1}{\sqrt 2}(\frac{x}{x_0} + i\frac{p}{p_0})\psi_0 (x) = \psi_1 (x) = \frac{1}{\sqrt 2}(\frac{x}{x_0} - \frac{\hbar}{p_0} \frac{\partial}{\partial x})\psi_0 (x) = \frac{1}{\sqrt 2}(\frac{x}{x_0} - x_0 \frac{\partial}{\partial x})\psi_0 (x) =</math>
		+	:<math>= \frac{x}{x_0 \sqrt{2} \sqrt[4]{x_0^2 \pi}}e^{- \frac{x^2}{2x_0^2}} - \frac{x_0}{\sqrt{2} \sqrt[4]{x_0^2 \pi}}\left( - \frac{2 x}{x_0^2}\right) e^{- \frac{x^2}{2x_0^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt[4]{x_0^2 \pi}}e^{- \frac{x^2}{2x_0^2}}(\frac{x}{x_0} + \frac{x}{x_0})</math> .
		+
		+	Rezultat:
		+	:<math>\psi_1 (x) = \sqrt 2 \frac{x}{x_0} \psi_0</math> .

193.77.234.232 ob 21:25, 25 marec 2008

2008-03-25T21:25:16Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 21:25, 25 marec 2008
Vrstica 31:		Vrstica 31:
	in uporabimo pri izračunu časovne odvisnosti pričakovane lege		in uporabimo pri izračunu časovne odvisnosti pričakovane lege
	:<math>\langle x(t) \rangle = \langle \psi \| x \psi \rangle =\frac{x_0}{\sqrt 2} (\langle a \rangle + \langle a^{\dagger} \rangle) =\frac{x_0}{\sqrt 2} 2 Re(\langle a \rangle) = \sqrt 2 x_0 Re(\langle a\rangle)</math> .		:<math>\langle x(t) \rangle = \langle \psi \| x \psi \rangle =\frac{x_0}{\sqrt 2} (\langle a \rangle + \langle a^{\dagger} \rangle) =\frac{x_0}{\sqrt 2} 2 Re(\langle a \rangle) = \sqrt 2 x_0 Re(\langle a\rangle)</math> .
		+
		+	Tako je potrebno izračunati pričakovano vrednost anihilacijskega operatorja
		+	:<math>\langle a \rangle = \langle \psi \| a \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \langle 0\| e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \langle 1\| e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) \| a \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \|0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \|1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right)</math>.
		+
		+	Anihilacijski operator a deluje na funkcijo psi (desni oklepaj) po zgoraj navedenih pravilih
		+	:<math>\langle a \rangle = \frac{1}{2} \left( \langle 0\| e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \langle 1\| e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) \left( 0 + \sqrt 1 \|0\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t}\right)</math> .
		+
		+	Nato se pri množenju upošteva ortogonalnost in normiranost lastnih funkcij
		+	:<math>\langle a \rangle = \frac{1}{2}\left( e^{i\frac{\omega}{2}t - i\frac{3\omega}{2}t} + 0\right) = \frac{1}{2} e^{-i\omega t}</math> .
		+
		+	To vstavimo v izraz za pričakovano vrednost lege in upoštevamo, da je realni del eksponenta kosinus in dobimo
		+	:<math>\langle x(t) \rangle = \frac{x_0 \sqrt 2}{2} \cos{\omega t}</math> .
		+
		+	Podobno izračunamo pričakovano vrednost kvadrata lege:
		+	:<math>\langle x(t)^2 \rangle = \langle \psi \| x^2 \psi \rangle = \langle \frac{x_0^2}{2}(a + a^{\dagger})^2\rangle = \frac{x_0^2}{2} \langle (a + a^{\dagger})^2\rangle = \frac{x_0^2}{2} (\langle a a\rangle + \langle a a^{\dagger}\rangle + \langle a^{\dagger} a\rangle + \langle a^{\dagger} a^{\dagger}\rangle)</math> .
		+
		+	Nato preoblikujemo izraz v
		+	:<math>\langle x(t)^2 \rangle = \frac{x_0^2}{2} (2 Re(\langle a^2\rangle ) + \langle 2 a a^{\dagger}\rangle - 1)</math> ,
		+	pri čemer uporabimo dejstvo, da je komutator anihilacijskega ter kreacijskega operatorja enak 1
		+	:<math>\left[ a,a^{\dagger} \right] = aa^{\dagger} - a^{\dagger}a = 1</math> .
		+
		+	Podobno kot <math>\langle a\rangle</math> poračunamo tudi <math>\langle a^2\rangle</math>, to je dvakrat delujemo z opeatorjem a na funkcijo <math>\psi</math>, kar da po zgoraj zapisanih formulah rezultat 0.
		+
		+	Tako je potrebno poračunati le še
		+	:<math>\langle a a^{\dagger}\rangle = \langle \psi \| a a^{\dagger} \psi \rangle = \langle a^{\dagger}\psi \| a^{\dagger} \psi \rangle</math> .
		+
		+	(Nadaljevanje še sledi...)

Asistent ob 11:20, 25 marec 2008

2008-03-25T11:20:34Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 11:20, 25 marec 2008
Vrstica 27:		Vrstica 27:
	Časovni razvoj dane valovne funkcije je enak:		Časovni razvoj dane valovne funkcije je enak:
	:<math>\|\psi,t\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \|0\rangle e^{-i\frac{E_{0}}{\hbar}t} + \|1\rangle e^{-i\frac{E_{1}}{\hbar}t} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \|0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \|1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) </math> .		:<math>\|\psi,t\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \|0\rangle e^{-i\frac{E_{0}}{\hbar}t} + \|1\rangle e^{-i\frac{E_{1}}{\hbar}t} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \|0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \|1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) </math> .
-	Iz definicij anihilacijskega ter lreacijskega operatorja izrazimo operator lege	+	Iz definicij anihilacijskega ter kreacijskega operatorja izrazimo operator lege
	:<math>x = \frac{x_0}{\sqrt 2} (a + a^{\dagger})</math>		:<math>x = \frac{x_0}{\sqrt 2} (a + a^{\dagger})</math>
	in uporabimo pri izračunu časovne odvisnosti pričakovane lege		in uporabimo pri izračunu časovne odvisnosti pričakovane lege
	:<math>\langle x(t) \rangle = \langle \psi \| x \psi \rangle =\frac{x_0}{\sqrt 2} (\langle a \rangle + \langle a^{\dagger} \rangle) =\frac{x_0}{\sqrt 2} 2 Re(\langle a \rangle) = \sqrt 2 x_0 Re(\langle a\rangle)</math> .		:<math>\langle x(t) \rangle = \langle \psi \| x \psi \rangle =\frac{x_0}{\sqrt 2} (\langle a \rangle + \langle a^{\dagger} \rangle) =\frac{x_0}{\sqrt 2} 2 Re(\langle a \rangle) = \sqrt 2 x_0 Re(\langle a\rangle)</math> .

Asistent ob 11:19, 25 marec 2008

2008-03-25T11:19:23Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 11:19, 25 marec 2008
Vrstica 5:		Vrstica 5:

	== Rešitev ==		== Rešitev ==
		+
		+	Hamiltonovo funkcijo za harmonski oscilator lahko namesto z operatorjema lege in gibalne količine izrazimo kot funkcijo anihilacijskega ter kreacijskega (ki je kar adjungirani anihilacijski operator) operatorja
		+	:<math>H = \hbar \omega (a^{\dagger}a + \frac{1}{2})</math>,
		+	pri čemer je <math>\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}</math> , anihalicijski operator pa je enak
		+	:<math>a = \frac{1}{\sqrt 2} (\frac{x}{x_0} + i \frac{p}{p_0})</math> ,
		+	pri čemer je <math>x_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}</math>, <math>p_0 = \frac{\hbar}{x_0}</math> .
		+
		+	Lastnim funkcijam oz. stanjem harmonskega oscilatorja (<math>\left\|0\right\rangle</math> , <math>\left\| 1\right\rangle</math>, <math>\left\|2\right\rangle</math>, ....) ustrezajo določene diskretne vrednosti energije <math>E_n</math>, ki predstavljajo lastne vrednosti Hamiltonovega operatorja
		+	:<math>H \left\| n\right\rangle = E_n \left\| n\right\rangle</math> .
		+
		+	Vrednosti teh energij določa enačba
		+	:<math>E_n = \hbar \omega (n + \frac{1}{2})</math> .
		+
		+	Kako anihalicijski ter kreacijski operator delujeta na lastne funkcije podajajo naslednje zvaze:
		+	*<math>a\left\| 0\right\rangle = 0</math>
		+	*<math>a\left\| n\right\rangle = \sqrt n \left\| n-1\right\rangle</math>
		+	*<math>a^{\dagger}\left\| 0\right\rangle = 1</math>
		+	*<math>a^{\dagger}\left\| n\right\rangle = \sqrt {n+1} \left\|
		+	n+1\right\rangle</math> .
		+
		+	Časovni razvoj dane valovne funkcije je enak:
		+	:<math>\|\psi,t\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \|0\rangle e^{-i\frac{E_{0}}{\hbar}t} + \|1\rangle e^{-i\frac{E_{1}}{\hbar}t} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \|0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \|1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) </math> .
		+	Iz definicij anihilacijskega ter lreacijskega operatorja izrazimo operator lege
		+	:<math>x = \frac{x_0}{\sqrt 2} (a + a^{\dagger})</math>
		+	in uporabimo pri izračunu časovne odvisnosti pričakovane lege
		+	:<math>\langle x(t) \rangle = \langle \psi \| x \psi \rangle =\frac{x_0}{\sqrt 2} (\langle a \rangle + \langle a^{\dagger} \rangle) =\frac{x_0}{\sqrt 2} 2 Re(\langle a \rangle) = \sqrt 2 x_0 Re(\langle a\rangle)</math> .

Asistent ob 14:29, 20 marec 2008

2008-03-20T14:29:56Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 14:29, 20 marec 2008
Vrstica 2:		Vrstica 2:

	# Kako se s časom spreminjata pričakovani vrednosti operatorjev <math>x</math> in <math>x^2</math> v stanju <math>\left\|\psi,0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left\|0\right\rangle+\left\|1\right\rangle\right)</math> harmonskega oscilatorja <math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>?		# Kako se s časom spreminjata pričakovani vrednosti operatorjev <math>x</math> in <math>x^2</math> v stanju <math>\left\|\psi,0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left\|0\right\rangle+\left\|1\right\rangle\right)</math> harmonskega oscilatorja <math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>?
-	# Izračunaj časovno odvisnost anihilacijskega operatorja <math>a(t)=e^{\frac{iHt}{\hbar}}ae^{-\frac{iHt}{\hbar}}</math> in rezultat uporabi za izračun količin iz naloge 1.	+	# S pomočjo anihilacijskega in kreacijskega operatorja določi valovni funkciji osnovnega in prvega vzbujenega stanja harmonskega oscilatorja v koordinatni reprezentaciji.

	== Rešitev ==		== Rešitev ==

Asistent: New page: == Naloga == # Kako se s časom spreminjata pričakovani vrednosti operatorjev $x$ in $x^2$ v stanju $\left|\psi,0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\...$

2008-03-12T19:42:40Z

New page: == Naloga == # Kako se s časom spreminjata pričakovani vrednosti operatorjev <math>x</math> in <math>x^2</math> v stanju <math>\left|\psi,0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\...

Nova stran

== Naloga ==

# Kako se s časom spreminjata pričakovani vrednosti operatorjev <math>x</math> in <math>x^2</math> v stanju <math>\left|\psi,0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right)</math> harmonskega oscilatorja <math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>?
# Izračunaj časovno odvisnost anihilacijskega operatorja <math>a(t)=e^{\frac{iHt}{\hbar}}ae^{-\frac{iHt}{\hbar}}</math> in rezultat uporabi za izračun količin iz naloge 1.

== Rešitev ==