Kronig-Penneyev model kristala - Zgodovina strani

Asistent: vrnitev sprememb uporabnika »194.208.246.163« (pogovor) na zadnje urejanje uporabnika »195.210.234.108«

Asistent — Tue, 18 Nov 2008 20:14:42 GMT

vrnitev sprememb uporabnika »194.208.246.163« (pogovor) na zadnje urejanje uporabnika »195.210.234.108«

← Starejša redakcija		Redakcija: 20:14, 18 november 2008
Vrstica 1:		Vrstica 1:
-	EUwHQf <a href="http://neetgvtafqfx.com/">neetgvtafqfx</a>, [url=http://xasacepqkdxs.com/]xasacepqkdxs[/url], [link=http://gxohxeegetxm.com/]gxohxeegetxm[/link], http://wafzlqljilmt.com/	+	== Naloga==
		+
		+
		+	Imamo delec v 1D Kronig-Penneyevem potencialu:
		+
		+	<math>
		+	V\left(x\right)=\sum_n\lambda\delta\left(x-na\right)
		+	</math>
		+
		+	Iščemo lastne funkcije energije za ta sistem.
		+

	== Rešitev ==		== Rešitev ==

194.208.246.163: -1

194.208.246.163 — Fri, 19 Sep 2008 01:13:38 GMT

-1

← Starejša redakcija		Redakcija: 01:13, 19 september 2008
Vrstica 1:		Vrstica 1:
-	== Naloga==	+	EUwHQf <a href="http://neetgvtafqfx.com/">neetgvtafqfx</a>, [url=http://xasacepqkdxs.com/]xasacepqkdxs[/url], [link=http://gxohxeegetxm.com/]gxohxeegetxm[/link], http://wafzlqljilmt.com/
-		+
-		+
-	Imamo delec v 1D Kronig-Penneyevem potencialu:	+
-		+
-	<math>	+
-	V\left(x\right)=\sum_n\lambda\delta\left(x-na\right)	+
-	</math>	+
-		+
-	Iščemo lastne funkcije energije za ta sistem.	+
-		+

	== Rešitev ==		== Rešitev ==

195.210.234.108 ob 02:14, 22 januar 2008

195.210.234.108 — Tue, 22 Jan 2008 02:14:26 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 02:14, 22 januar 2008
Vrstica 179:		Vrstica 179:
	----		----

-	Robni pogoji:	+	'''Robni pogoji:'''

	1.) <math>		1.) <math>
Vrstica 197:		Vrstica 197:

	<math>		<math>
-	\psi_{n-1}\left(na\right)=\psi{n}\left(na\right)	+	\psi_{n-1}\left(na\right)=\psi_{n}\left(na\right)
	</math>		</math>

	<math>		<math>
-	A_{n-1}e^{iqna}+B_{n-1}e^{-iqna}=A_{n-1}e^{-i\left(q-k\right)a}e^{iqna}+B_{n-1}e^{i\left(q+k\right)a}e{-iqna}	+	A_{n-1}e^{iqna}+B_{n-1}e^{-iqna}=A_{n-1}e^{-i\left(q-k\right)a}e^{iqna}+B_{n-1}e^{i\left(q+k\right)a}e^{-iqna}
	</math>		</math>

Vrstica 215:		Vrstica 215:

	<math>		<math>
-	iq\left(A_{n-1}e^{-i\left(q-k\right)a}e^{iqna}-B_{n-1}e^{i\left(q+k\right)a}e{-iqna}-A_{n-1}e^{iqna}+B_{n-1}e^{-iqna}\right)=2Q\left(A_{n-1}e^{-i\left(q-k\right)a}e^{iqna}+B_{n-1}e^{i\left(q+k\right)a}e{-iqna}\right)	+	iq\left(A_{n-1}e^{-i\left(q-k\right)a}e^{iqna}-B_{n-1}e^{i\left(q+k\right)a}e^{-iqna}-A_{n-1}e^{iqna}+B_{n-1}e^{-iqna}\right)=2Q\left(A_{n-1}e^{-i\left(q-k\right)a}e^{iqna}+B_{n-1}e^{i\left(q+k\right)a}e^{-iqna}\right)
	</math>		</math>

Vrstica 241:		Vrstica 241:

	<math>		<math>
-	2iqe^{iqa}+2iqe^{-iqa}-2iqe^{ika}-2iqe^{-ika}+2Qe^{iqa}-2Qe^{-iqa}=0	+	\left(2iqe^{iqa}+2iqe^{-iqa}-2iqe^{ika}-2iqe^{-ika}+2Qe^{iqa}-2Qe^{-iqa}\right)=0
	</math>		</math>

Vrstica 273:		Vrstica 273:
	\frac{\sin\left(qa\right)}{qa}		\frac{\sin\left(qa\right)}{qa}
	</math>		</math>
-	proti 1, prav tako pa tudi člen cos(qa), zato celotna desna stran v tem pasu presega vrednost +1 in to ne glede na (pozitivno) vrednost parametra ''Qa''.	+	proti 1, prav tako pa tudi člen <math>\cos(qa)</math>, zato celotna desna stran v tem pasu presega vrednost +1 in to ne glede na (pozitivno) vrednost parametra ''Qa''.

	Težave se pojavijo tudi v okolici točk		Težave se pojavijo tudi v okolici točk

195.210.234.108 ob 01:59, 22 januar 2008

195.210.234.108 — Tue, 22 Jan 2008 01:59:28 GMT

(Primerjava redakcij)

195.210.234.108 ob 00:53, 22 januar 2008

195.210.234.108 — Tue, 22 Jan 2008 00:53:27 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 00:53, 22 januar 2008
Vrstica 116:		Vrstica 116:
	Težave se pojavijo tudi v okolici točk <math>qa=n\pi; n \in \Re</math>. Tam lahko člen <math>\cos(qa)</math> precej dobro aproximiramo s parabolo, medtem, ko ima člen <math>\frac{\sin(qa)}{qa}</math> tam ničle in ga smemo razviti le do linearnega člena, kar pomeni, da v bližnji okolici teh točk ta člen prevlada in desna stran zgornje enačbe po absolutni vrednosti preseže 1.		Težave se pojavijo tudi v okolici točk <math>qa=n\pi; n \in \Re</math>. Tam lahko člen <math>\cos(qa)</math> precej dobro aproximiramo s parabolo, medtem, ko ima člen <math>\frac{\sin(qa)}{qa}</math> tam ničle in ga smemo razviti le do linearnega člena, kar pomeni, da v bližnji okolici teh točk ta člen prevlada in desna stran zgornje enačbe po absolutni vrednosti preseže 1.

-	Ta rezultat interpretiramo tako, da imamo tam prepovedane pasove - v teh območjih energije ''(qa)'' enačba nima rešitev. Prepovedani energijski pasovi ustrezajo energijam: <math>E</math>	+	Ta rezultat interpretiramo tako, da imamo tam prepovedane pasove - v teh območjih energije ''(qa)'' enačba nima rešitev. Prepovedani energijski pasovi ustrezajo energijam: <math>E\approx\frac{1}{2m}(\frac{n\pi\hbar}{a})^2</math>

195.210.234.108 ob 00:43, 22 januar 2008

195.210.234.108 — Tue, 22 Jan 2008 00:43:30 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 00:43, 22 januar 2008
Vrstica 113:		Vrstica 113:

	Leva stran enačbe je omejena z vrednostima +1 in -1, medtem, ko za desno stran to očitno ne velja. Za majhne vrednosti parametra ''qa'' gre faktor <math>\frac{\sin(qa)}{qa}</math> proti 1, prav tako pa tudi člen cos(qa), zato celotna desna stran v tem pasu presega vrednost +1 in to ne glede na (pozitivno) vrednost parametra ''Qa''.		Leva stran enačbe je omejena z vrednostima +1 in -1, medtem, ko za desno stran to očitno ne velja. Za majhne vrednosti parametra ''qa'' gre faktor <math>\frac{\sin(qa)}{qa}</math> proti 1, prav tako pa tudi člen cos(qa), zato celotna desna stran v tem pasu presega vrednost +1 in to ne glede na (pozitivno) vrednost parametra ''Qa''.
-	Težave se pojavijo tudi v okolici točk <math>qa=n\pi; n \in \Re</math>	+
		+	Težave se pojavijo tudi v okolici točk <math>qa=n\pi; n \in \Re</math>. Tam lahko člen <math>\cos(qa)</math> precej dobro aproximiramo s parabolo, medtem, ko ima člen <math>\frac{\sin(qa)}{qa}</math> tam ničle in ga smemo razviti le do linearnega člena, kar pomeni, da v bližnji okolici teh točk ta člen prevlada in desna stran zgornje enačbe po absolutni vrednosti preseže 1.
		+
		+	Ta rezultat interpretiramo tako, da imamo tam prepovedane pasove - v teh območjih energije ''(qa)'' enačba nima rešitev. Prepovedani energijski pasovi ustrezajo energijam: <math>E</math>

195.210.234.108 ob 00:27, 22 januar 2008

195.210.234.108 — Tue, 22 Jan 2008 00:27:26 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 00:27, 22 januar 2008
Vrstica 104:		Vrstica 104:
	<math>\cos(ka)=\cos(qa)+\frac{Q}{q}\sin(qa)</math>		<math>\cos(ka)=\cos(qa)+\frac{Q}{q}\sin(qa)</math>

-	Prišli smo do enačbe, ki povezuje "valovni vektor" ''k'' s konstanto <math>q= \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}</math>	+	Prišli smo do enačbe, ki povezuje "valovni vektor" ''k'' s konstanto <math>q= \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}</math>. ''Q'' je tu le parameter, odvisen od višine potenciala <math>\lambda</math> in mase delca ''m''.

	----		----
		+
		+	Analizirajmo sedaj to rešitev in poglejmo kakšne energije ji ustrezajo.
		+
		+	<math>\cos(ka)=\cos(qa)+\frac{Qa}{qa}\sin(qa)</math>
		+
		+	Leva stran enačbe je omejena z vrednostima +1 in -1, medtem, ko za desno stran to očitno ne velja. Za majhne vrednosti parametra ''qa'' gre faktor <math>\frac{\sin(qa)}{qa}</math> proti 1, prav tako pa tudi člen cos(qa), zato celotna desna stran v tem pasu presega vrednost +1 in to ne glede na (pozitivno) vrednost parametra ''Qa''.
		+	Težave se pojavijo tudi v okolici točk <math>qa=n\pi; n \in \Re</math>

195.210.234.108 ob 00:01, 22 januar 2008

195.210.234.108 — Tue, 22 Jan 2008 00:01:21 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 00:01, 22 januar 2008
Vrstica 94:		Vrstica 94:
	<math>(iqe^{iqa}e^{ika}-iq+2Qe^{iqa}e^{ika}-iqe^{2ika}+iqe^{-iqa}e^{ika}-2Qe^{2ika})=(iqe^{2ika}-iqe^{iqa}e^{ika}-2Qe^{2ika}-iqe^{-iqa}e^{ika}+iq+2Qe^{-iqa}e^{ika})</math>		<math>(iqe^{iqa}e^{ika}-iq+2Qe^{iqa}e^{ika}-iqe^{2ika}+iqe^{-iqa}e^{ika}-2Qe^{2ika})=(iqe^{2ika}-iqe^{iqa}e^{ika}-2Qe^{2ika}-iqe^{-iqa}e^{ika}+iq+2Qe^{-iqa}e^{ika})</math>

-	Pomnožimo celotno enačbo s členom <math>e^{-ika}</math>	+	Pomnožimo celotno enačbo s členom <math>e^{-ika}</math>:

	<math>(iqe^{iqa}-iqe^{-ika}+2Qe^{iqa}-iqe^{ika}+iqe^{-iqa}-2Qe^{ika})=(iqe^{ika}-iqe^{iqa}-2Qe^{ika}-iqe^{-iqa}+iqe^{-ika}+2Qe^{-iqa})</math>		<math>(iqe^{iqa}-iqe^{-ika}+2Qe^{iqa}-iqe^{ika}+iqe^{-iqa}-2Qe^{ika})=(iqe^{ika}-iqe^{iqa}-2Qe^{ika}-iqe^{-iqa}+iqe^{-ika}+2Qe^{-iqa})</math>
		+
		+	<math>2iqe^{iqa}+2iqe^{-iqa}-2iqe^{ika}-2iqe^{-ika}+2Qe^{iqa}-2Qe^{-iqa}=0</math>
		+
		+	<math>4iq\cos(qa)-4iq\cos(ka)+4iQ\sin(qa)=0</math>
		+
		+	<math>\cos(ka)=\cos(qa)+\frac{Q}{q}\sin(qa)</math>
		+
		+	Prišli smo do enačbe, ki povezuje "valovni vektor" ''k'' s konstanto <math>q= \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}</math>
		+
		+	----

195.210.234.108 ob 23:45, 21 januar 2008

195.210.234.108 — Mon, 21 Jan 2008 23:45:27 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 23:45, 21 januar 2008
Vrstica 79:		Vrstica 79:

	<math>A_{n-1}e^{iqna}(1-e^{-iqa}e^{ika})=B_{n-1}e^{-iqna}(e^{iqa}e^{ika}-1)</math>		<math>A_{n-1}e^{iqna}(1-e^{-iqa}e^{ika})=B_{n-1}e^{-iqna}(e^{iqa}e^{ika}-1)</math>
		+
		+	Iz drugega robnega pogoja pa dobimo:
		+
		+	<math>\psi_{n}'(na)-\psi_{n-1}'(na)=2Q\psi_{n}(na)</math>
		+
		+	<math>iq(A_{n-1}e^{-i(q-k)a}e^{iqna}-B_{n-1}e^{i(q+k)a}e{-iqna}-A_{n-1}e^{iqna}+B_{n-1}e^{-iqna})=2Q(A_{n-1}e^{-i(q-k)a}e^{iqna}+B_{n-1}e^{i(q+k)a}e{-iqna})</math>
		+
		+	<math>A_{n-1}e^{iqna}(iqe^{-iqa}e^{ika}-iq-2Qe^{-iqa}e^{ika})=B_{n-1}e^{-iqna}(iqe^{iqa}e^{ika}-iq+2Qe^{iqa}e^{ika})</math>
		+
		+	Sedaj lahko med seboj zdelimo obe enačbi, ki sledita iz robnih pogojev, ter se tako znebimo konstant ''A'' in ''B''
		+
		+	<math>(1-e^{-iqa}e^{ika})(iqe^{iqa}e^{ika}-iq+2Qe^{iqa}e^{ika})=(e^{iqa}e^{ika}-1)(iqe^{-iqa}e^{ika}-iq-2Qe^{-iqa}e^{ika})</math>
		+
		+	<math>(iqe^{iqa}e^{ika}-iq+2Qe^{iqa}e^{ika}-iqe^{2ika}+iqe^{-iqa}e^{ika}-2Qe^{2ika})=(iqe^{2ika}-iqe^{iqa}e^{ika}-2Qe^{2ika}-iqe^{-iqa}e^{ika}+iq+2Qe^{-iqa}e^{ika})</math>
		+
		+	Pomnožimo celotno enačbo s členom <math>e^{-ika}</math>
		+
		+	<math>(iqe^{iqa}-iqe^{-ika}+2Qe^{iqa}-iqe^{ika}+iqe^{-iqa}-2Qe^{ika})=(iqe^{ika}-iqe^{iqa}-2Qe^{ika}-iqe^{-iqa}+iqe^{-ika}+2Qe^{-iqa})</math>

195.210.234.108 ob 23:07, 21 januar 2008

195.210.234.108 — Mon, 21 Jan 2008 23:07:34 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 23:07, 21 januar 2008
Vrstica 1:		Vrstica 1:
	Imamo delec v 1D Kronig-Penneyevem potencialu:		Imamo delec v 1D Kronig-Penneyevem potencialu:
		+
	<math>V\left(x\right)=\sum_n\lambda\delta\left(x-na\right)</math>		<math>V\left(x\right)=\sum_n\lambda\delta\left(x-na\right)</math>

Vrstica 8:		Vrstica 9:
	Potencial je več kot očitno periodičen: <math>V\left(x+a\right)=V\left(x\right)</math>		Potencial je več kot očitno periodičen: <math>V\left(x+a\right)=V\left(x\right)</math>

-	Torej tudi za Hamiltonov operator: <math>\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}=\frac{\hat{p_x}^2}{2m}+\hat{V}\left(x\right) =	+	Torej tudi za Hamiltonov operator velja, da je periodičen: <math>\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}=\frac{\hat{p_x}^2}{2m}+\hat{V}\left(x\right) =
-	-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial{x}^2} + \hat{V}(x)</math> velja, da je periodičen: <math>\hat{H}\left(x+a\right)=\hat{H}\left(x\right)</math>	+	-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial{x}^2} + \hat{V}(x)</math>
		+
		+	<math>\hat{H}\left(x+a\right)=\hat{H}\left(x\right)</math>

	Uvedimo operator translacije: <math>\hat{A}\psi(x)=\psi(x-a)</math>		Uvedimo operator translacije: <math>\hat{A}\psi(x)=\psi(x-a)</math>
Vrstica 41:		Vrstica 44:
	<math>u_n(x)=u_{n+1}(x+a)</math>		<math>u_n(x)=u_{n+1}(x+a)</math>

-	<math>A_{n}e^{i(q-k)x}+B_{n}e^{-i(q+k)x}=A_{n+1}e^{i(q-k)(x+a)}+B_{n+1}e^{-i(q+k)(x+a)}</math>,	+	<math>A_{n}e^{i(q-k)x}+B_{n}e^{-i(q+k)x}=A_{n+1}e^{i(q-k)(x+a)}+B_{n+1}e^{-i(q+k)(x+a)}</math>
		+
		+	Ker to velja za vsak ''x'', sledi:
		+
		+	<math>A_{n+1}=A_{n}e^{-i(q-k)a}</math>
		+
		+	<math>B_{n+1}=B_{n}e^{i(q+k)a}</math>, torej
		+
		+	<math>A_{n}=Ae^{-i(q-k)na}</math>
		+
		+	<math>B_{n}=Be^{i(q+k)na}</math>, kjer sta: <math>A=A_0</math> in <math>B=B_0</math>
		+
		+	Torej lahko zapišemo rešitev Schrodingerjeve enačbe za ''n''-to področje kot:
		+
		+	<math>\psi_n(x)=e^{ikx}(Ae^{i(q-k)(x-na)}+Be^{-i(q+k)(x-na)})=</math>
		+
		+	<math>=Ae^{iqx}e^{-i(q-k)na}+Be^{-iqx}e^{i(q+k)na}</math>
		+
		+	Neznane količine: ''q'' (in torej tudi lastne energije ''E''), ''A'' in ''B'', dobimo iz začetnih in robnih pogojev.
		+
		+	----
		+
		+	Robni pogoji:
		+
		+	1.) <math>\psi_{n-1}(x=na)=\psi_{n}(x=na)</math>
		+
		+	2.) <math>(\frac{\partial\psi_{n}(x=na)}{\partial{x}}-\frac{\partial\psi_{n-1}(x=na)}{\partial{x}})=\frac{2m\lambda}{\hbar^2}\psi_{n}(x=na)=2Q\psi_{n}(x=na)</math>, kjer je <math>Q=\frac{m\lambda}{\hbar^2}</math>
		+
		+	Ko vstavimo valovno funkcijo v prvi robni pogoj, dobimo:
		+
		+	<math>\psi_{n-1}(na)=\psi{n}(na)</math>
		+
		+	<math>A_{n-1}e^{iqna}+B_{n-1}e^{-iqna}=A_{n-1}e^{-i(q-k)a}e^{iqna}+B_{n-1}e^{i(q+k)a}e{-iqna}</math>
		+
		+	<math>A_{n-1}e^{iqna}(1-e^{-iqa}e^{ika})=B_{n-1}e^{-iqna}(e^{iqa}e^{ika}-1)</math>