Tenzor elastičnosti - Zgodovina strani

193.2.86.3 ob 14:45, 31 marec 2008

2008-03-31T14:45:56Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 14:45, 31 marec 2008
Vrstica 185:		Vrstica 185:
	</math>		</math>

-	nastopati le členi, ki pri nobeni od zgornjih rotacij ne spremenijo predznaka. To lastnost imajo vsi kvadrati elementov ''u<sub>i</sub><sup>2</sup>'' ter produkti med dvema od prvih treh komponent ''u<sub>i</sub>u<sub>j</sub>'' (za ''i'', ''j'' = 1, 2, 3, npr. ''u<sub>1</sub>u<sub>2</sub> = u<sub>xx</sub>u<sub>yy</sub>''). Za vse ostale člene lahko najdemo tako rotacijo, ki bo spremenila njihov predznak, zato fizikalno niso sprejemljivi in jim pripišemo koeficiente ''C<sub>ij</sub>'' = 0:	+	nastopati le členi, ki pri nobeni od zgornjih rotacij ne spremenijo predznaka. To lastnost imajo vsi kvadrati elementov ''u<sub>i</sub><sup>2</sup>'' ter produkti med dvema od prvih treh komponent ''u<sub>i</sub>u<sub>j</sub>'' (za ''i'', ''j'' = 1, 2, 3, npr. ''u''<sub>1</sub>''u''<sub>2</sub> = ''u<sub>xx</sub>u<sub>yy</sub>''). Za vse ostale člene lahko najdemo tako rotacijo, ki bo spremenila njihov predznak, zato fizikalno niso sprejemljivi in jim pripišemo koeficiente ''C<sub>ij</sub>'' = 0:

	<math>		<math>
Vrstica 206:		Vrstica 206:
	</math>		</math>

-	Ostale so nam torej res le '''3 neodvisne elastične konstante''' ''C<sub>11</sub>'', ''C<sub>12</sub>'' in ''C<sub>44</sub>'':	+	Ostale so nam torej res le '''3 neodvisne elastične konstante''' ''C''<sub>11</sub>, ''C''<sub>12</sub> in ''C''<sub>44</sub>:

	<math>		<math>

194.249.230.31 ob 17:19, 13 marec 2008

2008-03-13T17:19:26Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 17:19, 13 marec 2008
Vrstica 6:		Vrstica 6:

	=== Deformacija ===		=== Deformacija ===
		+
		+	[[Slika:EK1.png\|right\|Slika 1: premik posamezne točke '''u'''('''r''').]]

	Deformacijo zveznega telesa v vsaki točki '''r''' opišemo z odmikom od prvotne lege '''u'''('''r'''):		Deformacijo zveznega telesa v vsaki točki '''r''' opišemo z odmikom od prvotne lege '''u'''('''r'''):
Vrstica 12:		Vrstica 14:
	\mathbf{R}(\mathbf{r})=\mathbf{r}+\mathbf{u}(\mathbf{r}) .		\mathbf{R}(\mathbf{r})=\mathbf{r}+\mathbf{u}(\mathbf{r}) .
	</math>		</math>
-
-	[[Slika:EK1.png\|right\|Slika 1: premik posamezne točke '''u'''('''r''').]]

	Ker lahko tako opisani odmiki vključujejo tudi togi premik celotnega telesa, ki nas ne zanima, je v primeru majhnih deformacij smiselno definirati tenzor, ki opisuje spreminjanje komponent deformacije v vsaki kartezični smeri ''x'', ''y'' in ''z'' kot		Ker lahko tako opisani odmiki vključujejo tudi togi premik celotnega telesa, ki nas ne zanima, je v primeru majhnih deformacij smiselno definirati tenzor, ki opisuje spreminjanje komponent deformacije v vsaki kartezični smeri ''x'', ''y'' in ''z'' kot
Vrstica 22:		Vrstica 22:

	=== Napetostni tenzor ===		=== Napetostni tenzor ===
		+
		+	[[Slika:EK2.png\|right\|Slika 2: Ponazoritev napetosti v telesu.]]

	Pri deformaciji pride v snovi do notranjih napetosti, ki jih opisuje '''napetostni tenzor''' ''p<sub>ij</sub>'':		Pri deformaciji pride v snovi do notranjih napetosti, ki jih opisuje '''napetostni tenzor''' ''p<sub>ij</sub>'':
Vrstica 46:		Vrstica 48:

	Od prvotnih 9 komponent je tako neodvisnih le še 6.		Od prvotnih 9 komponent je tako neodvisnih le še 6.
-
-	[[Slika:EK2.png\|right\|Slika 2: Ponazoritev napetosti v telesu.]]

	=== Deformacijski tenzor ===		=== Deformacijski tenzor ===
Vrstica 118:		Vrstica 118:

	=== Kubična simetrija ===		=== Kubična simetrija ===
		+
		+	[[Slika:EK3.png\|right\|Slika 3: Primer rotacije kristala okoli simetrijske osi (111).]]

	Pri nadaljnji redukciji števila konstant bomo uporabili simetrije tro- in štirištevnih osi, ki potekajo po telesnih diagonalah oz. vzdolž stranic kocke.		Pri nadaljnji redukciji števila konstant bomo uporabili simetrije tro- in štirištevnih osi, ki potekajo po telesnih diagonalah oz. vzdolž stranic kocke.
Vrstica 130:		Vrstica 132:
	\end{matrix}		\end{matrix}
	</math>		</math>
-
-	[[Slika:EK3.png\|right\|Slika 3: Primer rotacije kristala okoli simetrijske osi (111).]]

	Zgled: pri drugi rotaciji se komponente deformacijskega tenzorja ''u<sub>ij</sub>'' transformirajo v ''u<sub>i'j'</sub>'' kot		Zgled: pri drugi rotaciji se komponente deformacijskega tenzorja ''u<sub>ij</sub>'' transformirajo v ''u<sub>i'j'</sub>'' kot

Asistent ob 14:59, 13 marec 2008

2008-03-13T14:59:44Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 14:59, 13 marec 2008
Vrstica 191:		Vrstica 191:
	</math>		</math>

-	Tudi v primeru rotacije deformacije okoli štirištevnih osi za #p/2 morajo napetosti ostati enake. V primeru rotacije okoli osi ''x''	+	Tudi v primeru rotacije deformacije okoli štirištevnih osi za <math>\pi/2</math> morajo napetosti ostati enake. V primeru rotacije okoli osi ''x''

	<math>		<math>

Asistent ob 14:58, 13 marec 2008

2008-03-13T14:58:27Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 14:58, 13 marec 2008
Vrstica 13:		Vrstica 13:
	</math>		</math>

-	[[Slika:EK1.png \| right \| Slika 1: premik posamezne točke '''u'''('''r''').]]	+	[[Slika:EK1.png\|right\|Slika 1: premik posamezne točke '''u'''('''r''').]]

	Ker lahko tako opisani odmiki vključujejo tudi togi premik celotnega telesa, ki nas ne zanima, je v primeru majhnih deformacij smiselno definirati tenzor, ki opisuje spreminjanje komponent deformacije v vsaki kartezični smeri ''x'', ''y'' in ''z'' kot		Ker lahko tako opisani odmiki vključujejo tudi togi premik celotnega telesa, ki nas ne zanima, je v primeru majhnih deformacij smiselno definirati tenzor, ki opisuje spreminjanje komponent deformacije v vsaki kartezični smeri ''x'', ''y'' in ''z'' kot
Vrstica 47:		Vrstica 47:
	Od prvotnih 9 komponent je tako neodvisnih le še 6.		Od prvotnih 9 komponent je tako neodvisnih le še 6.

-	[[Slika:EK2.png \| right \| Slika 2: Ponazoritev napetosti v telesu.]]	+	[[Slika:EK2.png\|right\|Slika 2: Ponazoritev napetosti v telesu.]]

	=== Deformacijski tenzor ===		=== Deformacijski tenzor ===
Vrstica 131:		Vrstica 131:
	</math>		</math>

-	[[Slika:EK3.png \| right \| Slika 3: Primer rotacije kristala okoli simetrijske osi (111).]]	+	[[Slika:EK3.png\|right\|Slika 3: Primer rotacije kristala okoli simetrijske osi (111).]]

	Zgled: pri drugi rotaciji se komponente deformacijskega tenzorja ''u<sub>ij</sub>'' transformirajo v ''u<sub>i'j'</sub>'' kot		Zgled: pri drugi rotaciji se komponente deformacijskega tenzorja ''u<sub>ij</sub>'' transformirajo v ''u<sub>i'j'</sub>'' kot

Urbancici ob 08:48, 13 marec 2008

2008-03-13T08:48:08Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 08:48, 13 marec 2008
Vrstica 20:		Vrstica 20:
	v_{ij}=\frac{\partial u_j}{\partial x_i} , \quad i, j = x, y, z .		v_{ij}=\frac{\partial u_j}{\partial x_i} , \quad i, j = x, y, z .
	</math>		</math>
		+
		+	=== Napetostni tenzor ===

	Pri deformaciji pride v snovi do notranjih napetosti, ki jih opisuje '''napetostni tenzor''' ''p<sub>ij</sub>'':		Pri deformaciji pride v snovi do notranjih napetosti, ki jih opisuje '''napetostni tenzor''' ''p<sub>ij</sub>'':
Vrstica 36:		Vrstica 38:
	(V zgornji enačbi in v nadaljevanju zaradi lažjega in preglednejšega pisanja upoštevamo sumacijski dogovor o seštevanju po ponovljenih indeksih.)		(V zgornji enačbi in v nadaljevanju zaradi lažjega in preglednejšega pisanja upoštevamo sumacijski dogovor o seštevanju po ponovljenih indeksih.)
	Tenzor ''C <sub>ijkl</sub>'' ima načeloma 3<sup>4</sup> = 81 elementov, a bomo v nadaljevanju pokazali, da je v najsplošnejšem primeru neodvisnih le 21 komponent.		Tenzor ''C <sub>ijkl</sub>'' ima načeloma 3<sup>4</sup> = 81 elementov, a bomo v nadaljevanju pokazali, da je v najsplošnejšem primeru neodvisnih le 21 komponent.
-
-	=== Napetostni tenzor ===

	Predstavljajmo si majhno kockico v notranjosti deformiranega telesa in poglejmo, kakšne sile delujejo na njene mejne ploskve. Očitno je, da sta nasprotni ploskvi obremenjeni z nasprotnima silama: s kakršno silo deluje okolica na zgornjo ploskvico, s tolikšno deluje tudi spodnja na snov pod njo, slednja pa z nasprotno enako silo nazaj na vmesno – taki pari sil se torej uravnovesijo. Podobno mora veljati za navore, da se košček ne začne vrteti sam od sebe, kar dosežemo z zahtevo o simetričnosti napetostnega tenzorja		Predstavljajmo si majhno kockico v notranjosti deformiranega telesa in poglejmo, kakšne sile delujejo na njene mejne ploskve. Očitno je, da sta nasprotni ploskvi obremenjeni z nasprotnima silama: s kakršno silo deluje okolica na zgornjo ploskvico, s tolikšno deluje tudi spodnja na snov pod njo, slednja pa z nasprotno enako silo nazaj na vmesno – taki pari sil se torej uravnovesijo. Podobno mora veljati za navore, da se košček ne začne vrteti sam od sebe, kar dosežemo z zahtevo o simetričnosti napetostnega tenzorja
Vrstica 115:		Vrstica 115:
	</math>		</math>

-	od koder sledi, da ima simetričen tenzor ''C<sub>ij</sub>'' le 21 neodvisnih elementov, ki predstavljajo '''21 elastičnih konstant''' triklinskih kristalov z najnižjo stopnjo simetrije. Vse dodatne simetrijske zahteve njihovo število še nadalje skrčijo; kot bomo videli v nadaljevanju, ostanejo kristalom s simetrijo kocke le še 3 proste elastične konstante.	+	od koder sledi, da ima simetričen tenzor ''C<sub>ij</sub>'' le 21 neodvisnih elementov (6 na diagonali in 15 nad njo), ki predstavljajo '''21 elastičnih konstant''' triklinskih kristalov z najnižjo stopnjo simetrije. Vse dodatne simetrijske zahteve njihovo število še nadalje skrčijo; kot bomo videli v nadaljevanju, ostanejo kristalom s simetrijo kocke le še 3 proste elastične konstante.

	=== Kubična simetrija ===		=== Kubična simetrija ===

Urbancici: New page: == Naloga == Pokaži, da je v splošnem primeru neodvisnih le 21 od 81 elastičnih konstant, ki povezujejo napetost in deformacijo kristala, ter da so v primeru snovi s kubično simetrijo...

2008-03-13T08:45:09Z

New page: == Naloga == Pokaži, da je v splošnem primeru neodvisnih le 21 od 81 elastičnih konstant, ki povezujejo napetost in deformacijo kristala, ter da so v primeru snovi s kubično simetrijo...

Nova stran

== Naloga ==

Pokaži, da je v splošnem primeru neodvisnih le 21 od 81 elastičnih konstant, ki povezujejo napetost in deformacijo kristala, ter da so v primeru snovi s kubično simetrijo neodvisne le še 3.

== Rešitev ==

=== Deformacija ===

Deformacijo zveznega telesa v vsaki točki '''r''' opišemo z odmikom od prvotne lege '''u'''('''r'''):

<math>
\mathbf{R}(\mathbf{r})=\mathbf{r}+\mathbf{u}(\mathbf{r}) .
</math>

[[Slika:EK1.png | right | Slika 1: premik posamezne točke '''u'''('''r''').]]

Ker lahko tako opisani odmiki vključujejo tudi togi premik celotnega telesa, ki nas ne zanima, je v primeru majhnih deformacij smiselno definirati tenzor, ki opisuje spreminjanje komponent deformacije v vsaki kartezični smeri ''x'', ''y'' in ''z'' kot

<math>
v_{ij}=\frac{\partial u_j}{\partial x_i} , \quad i, j = x, y, z .
</math>

Pri deformaciji pride v snovi do notranjih napetosti, ki jih opisuje '''napetostni tenzor''' ''pij'':

<math>
p_{ij}=\frac{F_i}{S_j}.
</math>

Pove torej, kolikšna sila '''F''' v smeri ''i'' deluje na namišljeno notranjo ploskev ''S'' z normalo v smeri ''j''.
V primeru majhnih obremenitev so napetosti v snovi linearno sorazmerne z deformacijo ('''posplošeni Hookov zakon'''), le da sorazmernostne elastične konstante, ki povezujejo dva tenzorja drugega reda, sestavljajo tenzor četrtega reda ''Cijkl'':

<math>
p_{ij}=C_{ijkl}v_{kl}, \quad i, j, k, l = x, y, z.
</math>

(V zgornji enačbi in v nadaljevanju zaradi lažjega in preglednejšega pisanja upoštevamo sumacijski dogovor o seštevanju po ponovljenih indeksih.)
Tenzor ''C ijkl'' ima načeloma 34 = 81 elementov, a bomo v nadaljevanju pokazali, da je v najsplošnejšem primeru neodvisnih le 21 komponent.

=== Napetostni tenzor ===

Predstavljajmo si majhno kockico v notranjosti deformiranega telesa in poglejmo, kakšne sile delujejo na njene mejne ploskve. Očitno je, da sta nasprotni ploskvi obremenjeni z nasprotnima silama: s kakršno silo deluje okolica na zgornjo ploskvico, s tolikšno deluje tudi spodnja na snov pod njo, slednja pa z nasprotno enako silo nazaj na vmesno – taki pari sil se torej uravnovesijo. Podobno mora veljati za navore, da se košček ne začne vrteti sam od sebe, kar dosežemo z zahtevo o simetričnosti napetostnega tenzorja

<math>
p_{ij}= p_{ji}\ .
</math>

Od prvotnih 9 komponent je tako neodvisnih le še 6.

[[Slika:EK2.png | right | Slika 2: Ponazoritev napetosti v telesu.]]

=== Deformacijski tenzor ===

Zgoraj definirani tenzor ''vij'' lahko razstavimo na simetrični in antisimetrični del:

<math>
\begin{matrix}
v_{ij} & = &
\frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_j}{\partial x_i}+\frac{\partial u_i}{\partial x_j} \right ) & + &
\frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_j}{\partial x_i}-\frac{\partial u_i}{\partial x_j} \right ) & \ \\
\ & \equiv & u_{ij} & + & w_{ij} & .
\end{matrix}
</math>

Iz elastomehanike se spomnimo, da drugi člen ''wij'' predstavlja togo rotacijo, tako da splošno deformacijo povsem popiše simetrični ''' deformacijski tenzor''' ''uij''.
Tako kot napetostni tenzor ''pij'' ima tudi deformacijski tenzor ''uij'' le 6 prostih elementov. Zvezo med tenzorjema lahko z nekoliko spremenjenimi oznakami

<math>
xx=1, \quad yy=2, \quad zz=3, \quad yz=4, \quad zx=5, \quad xy=6
</math>

lahko prepišemo v bolj pregledno obliko:

<math>
p_i = C_{ij} u_j , \quad i, j = 1, 2, \dots , 6
</math>

oz. eksplicitno razpisano

<math>
\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \\ p_4 \\ p_5 \\ p_6 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\
C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \\ u_6 \end{pmatrix}.
</math>

Preostalo nam je 36 elastičnih konstant ''Cij'', ki pa tudi niso vse neodvisne.

=== Energija deformacije ===

Elastična energija deformacije vzmeti je v eni dimenziji odvisna od kvadrata raztezka. Tudi za trorazsežno telo je gostota proste energije ''f'' kvadratna funkcija deformacij, le da lahko v splošnem nastopajo tudi mešani členi:

<math>
f = \frac{1}{2}C'_{ij} u_i u_j \ .
</math>

Koeficienti ''C'ij'' so povezani z zgornjimi ''Cij'', kar bomo videli čez nekaj trenutkov.

Komponente deformacijskega tenzorja lahko enakovredno definiramo tudi kot odvode proste energije po ustreznem elementu deformacijskega tenzorja

<math>
p_{i} \equiv \frac{\partial f}{\partial u_i} =
\frac{1}{2} \sum_{j} \left(C'_{ij}+C'_{ji}\right) u_j = \sum_{j}C_{ij}u_j
</math>

(v tem primeru sumacijski dogovor ne velja, vsota je izpisana eksplicitno). Če rezultat primerjamo s prejšnjo definicijo (zadnji korak zgornje formule), dobimo povezavo med koeficienti ''Cij'' in ''C'ij''

<math>
C_{ij}=\frac{1}{2}\left(C'_{ij}+C'_{ji}\right)=C_{ji},
</math>

od koder sledi, da ima simetričen tenzor ''Cij'' le 21 neodvisnih elementov, ki predstavljajo '''21 elastičnih konstant''' triklinskih kristalov z najnižjo stopnjo simetrije. Vse dodatne simetrijske zahteve njihovo število še nadalje skrčijo; kot bomo videli v nadaljevanju, ostanejo kristalom s simetrijo kocke le še 3 proste elastične konstante.

=== Kubična simetrija ===

Pri nadaljnji redukciji števila konstant bomo uporabili simetrije tro- in štirištevnih osi, ki potekajo po telesnih diagonalah oz. vzdolž stranic kocke.
Če zavrtimo smer deformacije za 90° oz. 120° okoli ustrezne simetrijske osi, kristal ne čuti razlike, transformirajo se le koordinate deformacije. V primeru troštevnih osi se to zgodi po sledečih shemah:

<math>
\begin{matrix}
\mbox{(1 1 1):} & \quad & x & \rightarrow & y & \rightarrow & z & \rightarrow & x &,\\
\mbox{(1 -1 1):} &\quad & x & \rightarrow & z & \rightarrow & -y & \rightarrow & x &, \\
\mbox{(-1 1 1):} & \quad & -x & \rightarrow & z & \rightarrow & y & \rightarrow & -x &,\\
\mbox{(-1 -1 1):} & \quad & -x & \rightarrow & -y & \rightarrow & z & \rightarrow & -x &,
\end{matrix}
</math>

[[Slika:EK3.png | right | Slika 3: Primer rotacije kristala okoli simetrijske osi (111).]]

Zgled: pri drugi rotaciji se komponente deformacijskega tenzorja ''uij'' transformirajo v ''ui'j''' kot

<math>
u_{xx}\rightarrow u_{zz}, \quad u_{zz}\rightarrow u_{-y-y}, \quad
u_{zx}\rightarrow u_{-yz}, \quad \dots
</math>

Iz definicije ''uij'' vidimo, da velja

<math>
u_{-i,j}=-u_{ij}, \quad u_{i,-j}=-u_{ij}, \quad u_{-i,-j}=u_{ij} \quad,
</math>

saj deformacija ali odvod v nasprotni smeri oba spremenita predznak elementa. Ker pa se pri takih rotacijah deformacije gostota energije ''f'' ne sme spremeniti, smejo v izrazu

<math>
\begin{matrix}
f & = &
\frac{1}{2}C_{11} u_1^2 &
+\quad C_{12} u_1 u_2 &
+\quad C_{13} u_1 u_3 &
+\quad C_{14} u_1 u_4 &
+\quad C_{15} u_1 u_5 &
+\quad C_{16} u_1 u_6 & +
\\
\ & \ & \ &
+\quad \frac{1}{2}C_{22} u_2^2 \ &
+\quad C_{23} u_2 u_3 &
+\quad C_{24} u_2 u_4 &
+\quad C_{25} u_2 u_5 &
+\quad C_{26} u_2 u_6 & +
\\
\ & \ & \ & \ &
+\quad \frac{1}{2}C_{33} u_3^2 \ &
+\quad C_{34} u_3 u_4 &
+\quad C_{35} u_3 u_5 &
+\quad C_{36} u_3 u_6 & +
\\
\ & \ & \ & \ & \ &
+\quad \frac{1}{2}C_{44} u_4^2 \ &
+\quad C_{45} u_4 u_5 &
+\quad C_{46} u_4 u_6 & +
\\
\ & \ & \ & \ & \ & \ &
+\quad \frac{1}{2}C_{55} u_5^2 \ &
+\quad C_{56} u_5 u_6 & +
\\
\ & \ & \ & \ & \ & \ & \ &
+\quad \frac{1}{2}C_{66} u_6^2 \
\end{matrix}
</math>

nastopati le členi, ki pri nobeni od zgornjih rotacij ne spremenijo predznaka. To lastnost imajo vsi kvadrati elementov ''ui2'' ter produkti med dvema od prvih treh komponent ''uiuj'' (za ''i'', ''j'' = 1, 2, 3, npr. ''u1u2 = uxxuyy''). Za vse ostale člene lahko najdemo tako rotacijo, ki bo spremenila njihov predznak, zato fizikalno niso sprejemljivi in jim pripišemo koeficiente ''Cij'' = 0:

<math>
C_{14,\ 15,\ 16,\ 24,\ 25,\ 26,\ 34,\ 35,\ 36,\ 45,\ 46,\ 56}= 0 \ .
</math>

Tudi v primeru rotacije deformacije okoli štirištevnih osi za #p/2 morajo napetosti ostati enake. V primeru rotacije okoli osi ''x''

<math>
p_{xx}=\frac{\partial f}{\partial u_{xx}}=C_{11}u_{xx}+C_{12}u_{yy}+C_{13}u_{zz}
\quad \rightarrow \quad
p_{xx}=\frac{\partial f}{\partial u_{xx}}=C_{11}u_{xx}+C_{12}u_{zz}+C_{13}u_{yy}
</math>

morata biti zadnja dva prispevka prečnih deformacij enakovredna. Z rotacijami okoli ostalih osi ugotovimo, da morajo biti enaki tudi diagonalni prispevki, torej se konstante poenostavijo

<math>
C_{11}=C_{22}=C_{33}\ , \quad C_{12}=C_{13}=C_{23}\ , \quad C_{44}=C_{55}=C_{66}\ .

</math>

Ostale so nam torej res le '''3 neodvisne elastične konstante''' ''C11'', ''C12'' in ''C44'':

<math>
\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \\ p_4 \\ p_5 \\ p_6 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{12} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{11} & C_{12} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{12} & C_{11} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{44}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \\ u_6 \end{pmatrix}.
</math>