Kvantna mehanika I 2009 - 2010 - Nove strani [sl]

Časovno odvisna perturbacija II

Asistent — Thu, 27 May 2010 15:24:51 GMT

Asistent: Nova stran: Delec s spinom 1/2 v homogenem magnetnem polju z gostoto <math>B_z</math> v smeri osi z je ob <math>t=0</math> v stanju <math>\left|\downarrow\right\rangle</math>. Ob <math>t=0</math> v ...

Delec s spinom 1/2 v homogenem magnetnem polju z gostoto <math>B_z</math> v smeri osi z je ob <math>t=0</math> v stanju <math>\left|\downarrow\right\rangle</math>. Ob <math>t=0</math> v časovnem intervalu <math>\tau</math> vklopimo šibko polje v smeri x: <math>B_x(t)=B_x\frac{t}{\tau}</math>. V prvem redu perturbacije poišči valovno funkcijo delca ob <math>t=\tau</math>. Obravnavaj limiti hitrega in počasnega vklopa dodatnega polja.

Seštevanje spinov II

Asistent — Thu, 27 May 2010 15:23:40 GMT

Asistent: Nova stran: V sistemu sta dva delca s spinom 1. Prvemu izmerimo komponento spina v smeri osi <math>x</math>, drugemu pa komponento spina v smeri osi <math>y</math>. Rezultat meritve (meritev A) je v...

V sistemu sta dva delca s spinom 1. Prvemu izmerimo komponento spina v smeri osi <math>x</math>, drugemu pa komponento spina v smeri osi <math>y</math>. Rezultat meritve (meritev A) je v obeh primerih <math>\hbar</math>.
#Za vsakega od obeh delcev zapiši valovno funkcijo po meritvi v bazi z dobrima velikostjo spina delca in njegovo komponento v smeri osi <math>z</math>.
#Zapiši skupno valovno funkcijo obeh delcev v bazi z dobrima velikostima spinov vsakega od delcev in dobrima komponentama obeh spinov v smeri osi <math>z</math>.
#Po meritvi A na sistemu obeh delcev opravimo meritev skupne komponente spina v smeri osi <math>z</math> (meritev B). S kolikšno verjetnostjo dobimo rezultat <math>2\hbar</math>?
#S kolikšno verjetnostjo pa izmerimo kvadrat velikosti skupne vrtilne količine enak 0, če to meritev opravimo
#*po meritvi A?
#*po meritvi B, pri kateri dobimo rezultat <math>2\hbar</math>?

Časovno odvisna perturbacija

Asistent — Wed, 19 May 2010 11:06:52 GMT

Asistent: Nova stran: Vodikov atom je v homogenem električnem polju <math>E(t)=E_0\frac{1}{1+\left(\frac{t}{\tau}\right)^2}</math>. Kolikšna je verjetnost, daje atom ob <math>t=\infty</math> v prvem vzbu...

Vodikov atom je v homogenem električnem polju

<math>E(t)=E_0\frac{1}{1+\left(\frac{t}{\tau}\right)^2}</math>.

Kolikšna je verjetnost, daje atom ob <math>t=\infty</math> v prvem vzbujenem stanju, če je bil ob <math>t=-\infty</math> v osnovnem stanju? Pri katerem <math>\tau</math> je ta verjetnost največja? Predpostavi, da je električno polje dovolj šibko, da lahko uporabiš perturbacijsko teorijo.

Perturbacija II

Asistent — Wed, 19 May 2010 11:05:29 GMT

Asistent: Nova stran: Izračunaj popravke energij in lastne funkcije prvega vzbujenega stanja vodikovega atoma v homogenem zunanjem električnem polju. Uporabi najnižji red teorije motnje, ki da netrivialne ...

Izračunaj popravke energij in lastne funkcije prvega vzbujenega stanja vodikovega atoma v homogenem zunanjem električnem polju. Uporabi najnižji red teorije motnje, ki da netrivialne rezultate.

Perturbacija I

Asistent — Wed, 19 May 2010 11:04:57 GMT

Asistent: Nova stran: # Anharmonski oscilator v prvem približku opišemo s potencialom <math>V(x)=\frac{1}{2}kx^2+cx^4</math>. Izračunaj popravke energij lastnih stanj v prvem redu perturbacije. # Izračuna...

# Anharmonski oscilator v prvem približku opišemo s potencialom <math>V(x)=\frac{1}{2}kx^2+cx^4</math>. Izračunaj popravke energij lastnih stanj v prvem redu perturbacije.
# Izračunaj popravke lastnih energij v drugem redu perturbacije za anharmonski oscilator s potencialom <math>V(x)=\frac{1}{2}kx^2+cx^3</math>.

Spin II

Asistent — Wed, 05 May 2010 10:43:51 GMT

Asistent: Nova stran: Gibanje elektrona v dvodimenzionalnem elektronskem plinu opisuje Hamiltonjan :<math>H_{0}=\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}</math>, kjer je <math>\mathbf{p}=\left(p_{x},p_{y}\right)</math> s ...

Gibanje elektrona v dvodimenzionalnem elektronskem plinu opisuje Hamiltonjan

:<math>H_{0}=\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}</math>,

kjer je <math>\mathbf{p}=\left(p_{x},p_{y}\right)</math> s <math>p_{x}=-i\hbar\partial_{x}</math> in <math>p_{y}=-i\hbar\partial_{y}</math> operator gibalne količine delca. Določi lastne energije in zapiši lastne funkcije elektrona v dvodimenzionalnem elektronskem plinu!

V nekaterih sistemih igra pomembno vlogo tudi sklopitev med tirno in spinsko vrtilno količino elektrona. Take sisteme opišemo z Rashbinim Hamiltonijanom
:<math>H=H_{0}+\lambda\left(\sigma_{x}p_{y}-\sigma_{y}p_{x}\right)</math>,
kjer sta <math>\sigma_{x}</math> in <math>\sigma_{y}</math> Paulijevi matriki. Kakšne so lastne energije in lastne funkcije elektrona, katerega gibanje opisuje Rashbin Hamiltonjan? Namig: Kot nastavek uporabi spinor
:<math>\psi\left(\mathbf{r}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}</math>,
kjer je <math>\mathbf{r}=\left(x,y\right)</math> položaj delca. V katero smer je obrnjen spin elektrona v lastnih stanjih, ki jih opisuje zgornji nastavek?

Seštevanje spinov

Asistent — Wed, 05 May 2010 10:43:21 GMT

Asistent: Nova stran: Za delca s spinoma 1 in <math>3/2</math> # zapiši produkno bazo in # izračunaj Clebsch-Gordanove koeficiente za razvoj baznih funkcij z dobrim celotnim spinom in celotno <math>z</math...

Za delca s spinoma 1 in <math>3/2</math>
# zapiši produkno bazo in
# izračunaj Clebsch-Gordanove koeficiente za razvoj baznih funkcij z dobrim celotnim spinom in celotno <math>z</math>-komponento spina po produktni bazi.

Delec s spinom <math>S_1=1</math> se giblje v potencialu delca s spinom <math>S_2=3/2</math>. Potencial, ki ga čuti, je odvisen od medsebojne orientacije spinov obeh delcev: <math>V(x)=-\lambda\delta(x)\mathbf{S_1}\cdot\mathbf{S_2}. </math> Določi energije in degeneracije vezanih stanj takega sistema.

Spin I

Asistent — Wed, 05 May 2010 10:40:16 GMT

Asistent: Nova stran: #Poišči valovno funkcijo delca s spinom 1/2, pri kateri je spin delca usmerjen v določeno smer v prostoru. #Pokaži, da je vsaka valovna funkcija delca s spinom 1/2 lastna funkcija op...

#Poišči valovno funkcijo delca s spinom 1/2, pri kateri je spin delca usmerjen v določeno smer v prostoru.
#Pokaži, da je vsaka valovna funkcija delca s spinom 1/2 lastna funkcija operatorja neke projekcije spina.

Vrtilna količina II

Asistent — Wed, 05 May 2010 10:39:53 GMT

Asistent: Nova stran: Delec je v stanju z valovno funkcijo <math>\psi(\mathbf{r})=Ax^2e^{-\lambda r}</math>. * S kolikšno verjetnostjo pri meritvi komponente z vrtilne količine delca izmerimo vrednost 0? *...

Delec je v stanju z valovno funkcijo <math>\psi(\mathbf{r})=Ax^2e^{-\lambda r}</math>.
* S kolikšno verjetnostjo pri meritvi komponente z vrtilne količine delca izmerimo vrednost 0?
* Kateri so možni rezultati pri meritvi kvadrata velikosti vrtilne količine? Kakšne so verjetnosti za posamezne rezultate meritve?
* S kolikšno verjetnostjo pri meritvi komponente z vrtilne količine delca izmerimo vrednost 0, če smo prej izmerili kvadrat vrtilne količine?

Vrtilna količina I

Asistent — Thu, 15 Apr 2010 10:56:21 GMT

Asistent: Nova stran: Delec z vrtilno količino l = 1, ki se giblje v krogelno simetričnem potencialu, je v stanju m = 1. Ob t = 0 vklopimo homogeno magnetno polje v ravnini xz pod kotom <math>\phi\;</math> ...

Delec z vrtilno količino l = 1, ki se giblje v krogelno simetričnem potencialu, je v stanju m = 1. Ob t = 0 vklopimo homogeno magnetno polje v ravnini xz pod kotom <math>\phi\;</math> glede na os z. Kakšna je časovna odvisnost pričakovane vrednosti vrtilne količine?

Dvodimenzionalni harmonski oscilator

Asistent — Thu, 08 Apr 2010 13:23:16 GMT

Asistent: Nova stran: Obravnavaj lastna stanja dvodimenzionalnega harmonskega oscilatorja <math>H=\frac{\mathbf{p^2}}{2m}+\frac{1}{2}a_x x^2+\frac{1}{2}a_y y^2 </math>. V primeru, ko je <math>a_x=a_y</mat...

Obravnavaj lastna stanja dvodimenzionalnega harmonskega oscilatorja

<math>H=\frac{\mathbf{p^2}}{2m}+\frac{1}{2}a_x x^2+\frac{1}{2}a_y y^2 </math>.

V primeru, ko je <math>a_x=a_y</math>, poišči taka lastna stanja, ki so hkrati tudi lastna stanja operatorja vrtilne količine okoli osi <math>z</math>

<math>L_z=-i\hbar\frac{\partial}{\partial \varphi}</math>.

Koherentna stanja harmonskega oscilatorja II

Asistent — Thu, 08 Apr 2010 11:57:04 GMT

Asistent: Nova stran: Delec z nabojem <math>e</math> je v osnovnem stanju harmonskega oscilatorja <math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>. Ob <math>t=0</math> v trenutku vključimo homogeno električno p...

Delec z nabojem <math>e</math> je v osnovnem stanju harmonskega oscilatorja <math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>. Ob <math>t=0</math> v trenutku vključimo homogeno električno polje <math>E</math>. Kako se s časom spreminjajo pričakovane vrednosti položaja, gibalne količine in energije delca?

Koherentna stanja harmonskega oscilatorja I

Asistent — Thu, 01 Apr 2010 11:19:54 GMT

Asistent:

Za delec v koherentnem stanju <math>a\left|z\right\rangle=z\left|z\right\rangle</math> harmonskega oscilatorja <math>H=\hbar\omega\left(a^\dagger a+\frac{1}{2}\right)</math>
# izračunaj časovni razvoj valovne funkcije,
# izračunaj nedoločenosti položaja in gibalne količine delca,
# zapiši valovno funkcijo v koordinatni reprezentaciji.

Meritev

Asistent — Thu, 01 Apr 2010 11:19:00 GMT

Asistent: Nova stran: Obravnavaj delec v harmonskem oscilatorju. Ob <math>t=0</math> je delec v stanju <math>|D\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt{2}</math>, v katerem je verjetnostna gostota v območju <math...

Obravnavaj delec v harmonskem oscilatorju. Ob <math>t=0</math> je delec v stanju <math>|D\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt{2}</math>, v katerem je verjetnostna gostota v območju <math>x>0</math> večja kot v območju <math>x<0</math>. Obratno velja za stanje <math>|L\rangle=(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt{2}</math>.
# Izračunaj časovni razvoj valovne funkcije delca.
# Kolikšna je verjetnost, da se po meritvi ob času <math>t</math> delec nahaja v levem (desnem) delu potencialne jame? V kakšnem stanju je delec takoj po meritvi v vsakem od obeh primerov?
# Kolikšna je verjetnost, da se po meritvi ob času <math>t</math> delec nahaja v levem (desnem) delu potencialne jame, če smo pred tem opravili enako meritev ob časih <math>\frac{t}{n}</math>, <math>2\frac{t}{n}</math>, ..., <math>(n-1)\frac{t}{n}</math>, kjer gre <math>n\rightarrow\infty</math>?

Harmonski oscilator I

Asistent — Thu, 25 Mar 2010 12:01:12 GMT

Asistent: Nova stran: S pomočjo principa nedoločenosti za lego in gibalno količino oceni energijo osnovnega stanja harmonskega oscilatorja (<math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>).

S pomočjo principa nedoločenosti za lego in gibalno količino oceni energijo osnovnega stanja harmonskega oscilatorja (<math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>).

Harmonski oscilator II

Asistent — Thu, 25 Mar 2010 11:59:19 GMT

Asistent:

# Kako se s časom spreminjajo pričakovane vrednosti operatorjev <math>x</math>, <math>x^2</math>, <math>p</math>, <math>H</math> in <math>H^2</math> v stanju <math>\left|\psi,0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right)</math> harmonskega oscilatorja <math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}</math>?
# Preveri veljavnost Ehrenfestovega teorema za položaj delca in nejgovo gibalno količino.
# Izračunaj časovno odvisnost anihilacijskega operatorja <math>a(t)=e^{\frac{iHt}{\hbar}}ae^{-\frac{iHt}{\hbar}}</math> in rezultat uporabi za izračun količin iz naloge 1.

Časovni razvoj valovnega paketa

Asistent — Thu, 25 Mar 2010 11:56:55 GMT

Asistent: Nova stran: Izračunaj časovni razvoj valovnega paketa za delec, ki se giblje v konstantnem potencialu.

Izračunaj časovni razvoj valovnega paketa za delec, ki se giblje v konstantnem potencialu.

Valovni paket

Asistent — Tue, 16 Mar 2010 12:53:07 GMT

Asistent: Nova stran: Poišči valovno funkcijo z minimalnim produktom nedoločenosti položaja delca in njegove gibalne količine.

Poišči valovno funkcijo z minimalnim produktom nedoločenosti položaja delca in njegove gibalne količine.

Heisenbergovo načelo nedoločenosti

Asistent — Tue, 16 Mar 2010 12:52:44 GMT

Asistent: Nova stran: Izpelji Heisenbergov princip nedoločenosti za produkt nedoločenosti dveh opazljivk.

Izpelji Heisenbergov princip nedoločenosti za produkt nedoločenosti dveh opazljivk.

Delta potencial III

Asistent — Tue, 16 Mar 2010 12:52:11 GMT

Asistent: Nova stran: Obravnavaj vezana stanja delca v potencialu <math>V(x)=-\lambda\delta(x+a/2)-\lambda\delta(x-a/2)</math>. #Zapiši nastavek za valovne funkcije vezanih stanj in robne pogoje. Izpelji ena...

Obravnavaj vezana stanja delca v potencialu <math>V(x)=-\lambda\delta(x+a/2)-\lambda\delta(x-a/2)</math>.
#Zapiši nastavek za valovne funkcije vezanih stanj in robne pogoje. Izpelji enačbo, ki določa lastne energije vezanih stanj delca.
#Dokaži, da pri vsakem razmiku <math>a</math> obstaja vezano stanje. Kdaj obstajata dve vezani stanji?
#Določi energijo osnovnega stanja, če je <math>a</math> zelo velik ali zelo majhen.

Delta potencial II

Asistent — Mon, 08 Mar 2010 12:24:01 GMT

Asistent: Nova stran: Za delec v potencialu <math>V(x)=-\lambda\delta(x)</math> # določi energije in valovne funkcije vezanih stanj # izračunaj produkt nedoločenosti položaja in gibalne količine delca v ...

Za delec v potencialu <math>V(x)=-\lambda\delta(x)</math>
# določi energije in valovne funkcije vezanih stanj
# izračunaj produkt nedoločenosti položaja in gibalne količine delca v osnovnem stanju

Delta potencial I

Asistent — Mon, 08 Mar 2010 12:23:49 GMT

Asistent: Nova stran: # Poišči transcendentni enačbi, ki določata lastne energije delca v lihih in sodih lastnih stanjih končne potencialne jame s širino <math>a</math> in višino <math>V_0</math>, in j...

# Poišči transcendentni enačbi, ki določata lastne energije delca v lihih in sodih lastnih stanjih končne potencialne jame s širino <math>a</math> in višino <math>V_0</math>, in ju grafično reši.
# Poišči lastne energije in lastne funkcije v limiti <math>a\rightarrow 0</math> pri čemer je <math>V_0 a</math> konstanten.

Vezana stanja končne potencialne jame

Asistent — Mon, 08 Mar 2010 12:23:00 GMT

# Poišči transcendentni enačbi, ki določata lastne energije delca v lihih in sodih lastnih stanjih končne potencialne jame s širino <math>a</math> in višino <math>V_0</math>, in ju grafično reši.
# Poišči pogoj za obstoj prvega vzbujenega stanja.
# Določi lastne energije v limiti <math>V_0\rightarrow\infty</math>.

Neskončna potencialna jama

Asistent — Mon, 08 Mar 2010 12:22:27 GMT

Asistent: Nova stran: # Pokaži, da imajo lastne funkcije dobro določeno parnost - so ali sode ali lihe, če je potencial sod <math>V\left(-x\right)=V\left(x\right)</math> in so lastna stanja nedegenerirana...

# Pokaži, da imajo lastne funkcije dobro določeno parnost - so ali sode ali lihe, če je potencial sod <math>V\left(-x\right)=V\left(x\right)</math> in so lastna stanja nedegenerirana.
# Poišči lastne energije in lastne funkcije delca v neskončni potencialni jami z dolžino <math>a</math>.
# Delec v neskončni potencialni jami z dolžino <math>a</math> ob času <math>t=0</math> opišemo z valovno funkcijo
#:<math>\psi(x)=A\left(\cos\frac{\pi x}{a}+\frac{1}{2}\sin\frac{2\pi x}{a}\right) </math>.
#* Normaliziraj valovno funkcijo.
#* Izračunaj časovni razvoj valovne funkcije.
#* Izračunaj časovno odvisnost pričakovane vrednosti položaja in gibalne količine delca.
#* Kako sta ti dve količini povezani?