Harmonski oscilator I

Iz Kvantna Mehanika I 2006 - 2007

(Primerjava redakcij)

Skoči na: navigacija, iskanje

Redakcija: 22:06, 21 marec 2007

Vsebina

1 Naloga
2 Rešitev
- 2.1 Formalizem harmonskega oscilatorja
  - 2.1.1 Kreacijski in anihilacijski operator
  - 2.1.2 Hamiltonov operator

Naloga

Kako se s časom spreminjata pričakovani vrednosti operatorjev $x$ in $x 2$ v stanju $\left|\psi,0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right)$ harmonskega oscilatorja $H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}$ ?
Izračunaj časovno odvisnost anihilacijskega operatorja $a(t)=e^{\frac{iHt}{\hbar}}ae^{-\frac{iHt}{\hbar}}$ in rezultat uporabi za izračun količin iz naloge 1.

Rešitev

Formalizem harmonskega oscilatorja

K reševanju problema harmonskega oscilatorja navadno pristopimo z uporabo/uvedbo t.i. "lestvičnih" ("ladder") operatorjev, s čimer, ob upoštevanju Diracive pisave, hitreje pridemo do vseh pomembnejših rezultatov (brez zamudnega reševanja diferencialnih enačb običajnega kvantnomehanskega formalizma).

Kreacijski in anihilacijski operator

Uvedemo anihilacijski operator a in njemu adjungiran kreacijski operator a^†:

$a = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}+i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right)$ in $a^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}-i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right)$ ,

kjer sta:

$x_{0} = \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}$ in $p_{0} = \frac{\hbar}{x_{0}}$ .

Pri tem je frekvenca harmonskega oscilatorja: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ .

Komutator med anihilacijskim in kreacijskim operatorjem je:

$\left[ a,a^{\dagger} \right] = 1$ .

Hamiltonov operator

S tako definiranima operatorjema na novo zapišemo še Hamiltonov operator:

$H = \frac{\hat{p}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k\hat{x}^{2}=\hbar \omega \left( a^{\dagger}a+\frac{1}{2} \right)$ .

Lastne energije harmonskega oscilatorja v stanju n so:

$E_{n} = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right)$ , kjer med n - to lastno energijo in Hamiltonovim operatorjem velja zveza: $E_{n} | n \rangle = H | n \rangle$ .

Vzpostavljeno iz »http://burana.ijs.si/wiki/index.php/Harmonski_oscilator_I«

Redakcija: 22:00, 21 marec 2007 (spremeni) 193.2.191.7 (Pogovor) ← Pojdi na prejšnje urejanje		Redakcija: 22:06, 21 marec 2007 (spremeni) (undo) 193.2.191.7 (Pogovor) Novejše urejanje →
Vrstica 36:		Vrstica 36:
	Lastne energije harmonskega oscilatorja v stanju <FONT SIZE="2"><i>n</i></FONT> so:		Lastne energije harmonskega oscilatorja v stanju <FONT SIZE="2"><i>n</i></FONT> so:

-	<math>E_{n} = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right)</math>  , kjer je <math>E_{n}\left\| n \right> = H\left\| n \right></math>.	+	<math>E_{n} = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right)</math>  , kjer med <FONT SIZE="2"><i>n</i></FONT> - to lastno energijo in Hamiltonovim operatorjem velja zveza: <math>E_{n} \| n \rangle = H \| n \rangle</math>.