Harmonski oscilator I

Iz Kvantna Mehanika I 2006 - 2007

(Primerjava redakcij)

Skoči na: navigacija, iskanje

Redakcija: 22:26, 21 marec 2007

Vsebina

1 Naloga
2 Rešitev
- 2.1 Formalizem harmonskega oscilatorja

Naloga

Kako se s časom spreminjata pričakovani vrednosti operatorjev $x$ in $x 2$ v stanju $\left|\psi,0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right)$ harmonskega oscilatorja $H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}$ ?
Izračunaj časovno odvisnost anihilacijskega operatorja $a(t)=e^{\frac{iHt}{\hbar}}ae^{-\frac{iHt}{\hbar}}$ in rezultat uporabi za izračun količin iz naloge 1.

Rešitev

Formalizem harmonskega oscilatorja

K reševanju problema harmonskega oscilatorja navadno pristopimo z uporabo/uvedbo t.i. "lestvičnih" ("ladder") operatorjev, s čimer, ob upoštevanju Diracive pisave, hitreje pridemo do vseh pomembnejših rezultatov (brez zamudnega reševanja diferencialnih enačb običajnega kvantnomehanskega formalizma).

Kreacijski in anihilacijski operator

Uvedemo anihilacijski operator a in njemu adjungiran kreacijski operator a^†:

$a = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}+i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right)$ in $a^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}-i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right) ,$

kjer sta:

$x_{0} = \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}$ in $p_{0} = \frac{\hbar}{x_{0}},$ kjer je frekvenca harmonskega oscilatorja: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.$

Lastnosti

Komutator med anihilacijskim in kreacijskim operatorjem je: $\left[ a,a^{\dagger} \right] = 1.$

Hamiltonov operator

S tako definiranima operatorjema na novo zapišemo še Hamiltonov operator:

$H = \frac{\hat{p}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k\hat{x}^{2}=\hbar \omega \left( a^{\dagger}a+\frac{1}{2} \right).$

Lastne energije harmonskega oscilatorja v stanju n so:

$E_{n} = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right)$ , kjer med n - to lastno energijo in Hamiltonovim operatorjem velja zveza: $E_{n} | n \rangle = H | n \rangle.$

Operatorja kraja in gibalne količine

Operatorja kraja $\hat{x}$ in gibalne količine $\hat{p}$ , sta sebi adjungirana oz. hermitska, na novo pa ju z anihilacijskim in kreacijskim operatorjem zapišemo v obliki:

$\hat{x} = \frac{x_{0}}{\sqrt{2}}\left( a + a^{\dagger} \right)$ in $\hat{p} = \frac{p_{0}}{\sqrt{2}}\left( a - a^{\dagger} \right).$

Vzpostavljeno iz »http://burana.ijs.si/wiki/index.php/Harmonski_oscilator_I«

 Uvedemo anihilacijski operator <FONT SIZE="2"><i>a</i></FONT> in njemu adjungiran kreacijski operator <FONT SIZE="2"><i>a</i><sup>†</sup></FONT>:
-<math>a = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}+i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right)</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; in &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>a^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}-i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right) </math>,
+<math>a = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}+i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right)</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; in &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>a^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}-i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right) ,</math>
 kjer sta:
-<math>x_{0} = \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; in &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>p_{0} = \frac{\hbar}{x_{0}}</math>.
+<math>x_{0} = \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; in &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>p_{0} = \frac{\hbar}{x_{0}},</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; kjer je frekvenca harmonskega oscilatorja: &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.</math>
-Pri tem je frekvenca harmonskega oscilatorja: <math>\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>.
-Komutator med anihilacijskim in kreacijskim operatorjem je:
+=====Lastnosti=====
-<math>\left[ a,a^{\dagger} \right] = 1</math>.
+#Komutator med anihilacijskim in kreacijskim operatorjem je: <math>\left[ a,a^{\dagger} \right] = 1.</math>
 S tako definiranima operatorjema na novo zapišemo še Hamiltonov operator:
-<math>H = \frac{\hat{p}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k\hat{x}^{2}=\hbar \omega \left( a^{\dagger}a+\frac{1}{2} \right)</math>.
+<math>H = \frac{\hat{p}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k\hat{x}^{2}=\hbar \omega \left( a^{\dagger}a+\frac{1}{2} \right).</math>
 Lastne energije harmonskega oscilatorja v stanju <FONT SIZE="2"><i>n</i></FONT> so:
-<math>E_{n} = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right)</math>&nbsp; , kjer med <FONT SIZE="2"><i>n</i></FONT> - to lastno energijo in Hamiltonovim operatorjem velja zveza: <math>E_{n} | n \rangle = H | n \rangle</math>.
+<math>E_{n} = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right)</math>&nbsp; , kjer med <FONT SIZE="2"><i>n</i></FONT> - to lastno energijo in Hamiltonovim operatorjem velja zveza: <math>E_{n} | n \rangle = H | n \rangle.</math>
+====Operatorja kraja in gibalne količine====
+Operatorja kraja <math>\hat{x}</math> in gibalne količine <math>\hat{p}</math>, sta sebi adjungirana oz. hermitska, na novo pa ju z anihilacijskim in kreacijskim operatorjem zapišemo v obliki:
+<math>\hat{x} = \frac{x_{0}}{\sqrt{2}}\left( a + a^{\dagger} \right)</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; in &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\hat{p} = \frac{p_{0}}{\sqrt{2}}\left( a - a^{\dagger} \right).</math>