Harmonski oscilator I

Iz Kvantna Mehanika I 2006 - 2007

(Primerjava redakcij)

Skoči na: navigacija, iskanje

Redakcija: 22:00, 21 marec 2007

Vsebina

1 Naloga
2 Rešitev
- 2.1 Formalizem harmonskega oscilatorja
  - 2.1.1 Kreacijski in anihilacijski operator
  - 2.1.2 Hamiltonov operator

Naloga

Kako se s časom spreminjata pričakovani vrednosti operatorjev $x$ in $x 2$ v stanju $\left|\psi,0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right)$ harmonskega oscilatorja $H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}$ ?
Izračunaj časovno odvisnost anihilacijskega operatorja $a(t)=e^{\frac{iHt}{\hbar}}ae^{-\frac{iHt}{\hbar}}$ in rezultat uporabi za izračun količin iz naloge 1.

Rešitev

Formalizem harmonskega oscilatorja

K reševanju problema harmonskega oscilatorja navadno pristopimo z uporabo/uvedbo t.i. "lestvičnih" ("ladder") operatorjev, s čimer, ob upoštevanju Diracive pisave, hitreje pridemo do vseh pomembnejših rezultatov (brez zamudnega reševanja diferencialnih enačb običajnega kvantnomehanskega formalizma).

Kreacijski in anihilacijski operator

Uvedemo anihilacijski operator a in njemu adjungiran kreacijski operator a^†:

$a = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}+i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right)$ in $a^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}-i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right)$ ,

kjer sta:

$x_{0} = \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}$ in $p_{0} = \frac{\hbar}{x_{0}}$ .

Pri tem je frekvenca harmonskega oscilatorja: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ .

Komutator med anihilacijskim in kreacijskim operatorjem je:

$\left[ a,a^{\dagger} \right] = 1$ .

Hamiltonov operator

S tako definiranima operatorjema na novo zapišemo še Hamiltonov operator:

$H = \frac{\hat{p}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k\hat{x}^{2}=\hbar \omega \left( a^{\dagger}a+\frac{1}{2} \right)$ .

Lastne energije harmonskega oscilatorja v stanju n so:

$E_{n} = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right)$ , kjer je Ni mi uspelo razčleniti (Začasne mape za matematiko ne morem ustvariti ali pisati vanjo.): E_{n}\left| n \right> = H\left| n \right> .

Vzpostavljeno iz »http://burana.ijs.si/wiki/index.php/Harmonski_oscilator_I«

-====Kreator, anihilator====
+====Kreacijski in anihilacijski operator====
-Uvedemo operatorja anihilator <b><i>a</i></b> in njemu adjungiran kreator <b><i>a</i><sup>†</sup></b>:
+Uvedemo anihilacijski operator <FONT SIZE="2"><i>a</i></FONT> in njemu adjungiran kreacijski operator <FONT SIZE="2"><i>a</i><sup>†</sup></FONT>:
-<math>a = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}+i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right)</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; in &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>a^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}-i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right) </math>
+<math>a = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}+i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right)</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; in &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>a^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}-i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right) </math>,
+kjer sta:
+<math>x_{0} = \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; in &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>p_{0} = \frac{\hbar}{x_{0}}</math>.
+Pri tem je frekvenca harmonskega oscilatorja: <math>\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>.
+Komutator med anihilacijskim in kreacijskim operatorjem je:
+<math>\left[ a,a^{\dagger} \right] = 1</math>.
+====Hamiltonov operator====
+S tako definiranima operatorjema na novo zapišemo še Hamiltonov operator:
+<math>H = \frac{\hat{p}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k\hat{x}^{2}=\hbar \omega \left( a^{\dagger}a+\frac{1}{2} \right)</math>.
+Lastne energije harmonskega oscilatorja v stanju <FONT SIZE="2"><i>n</i></FONT> so:
+<math>E_{n} = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right)</math>&nbsp; , kjer je <math>E_{n}\left| n \right> = H\left| n \right></math>.