Harmonski oscilator I

Iz Kvantna Mehanika I 2006 - 2007

(Primerjava redakcij)

Skoči na: navigacija, iskanje

Redakcija: 21:04, 21 marec 2007

Vsebina

1 Naloga
2 Rešitev
- 2.1 Formalizem harmonskega oscilatorja
  - 2.1.1 Kreator, anihilator

Naloga

Kako se s časom spreminjata pričakovani vrednosti operatorjev $x$ in $x 2$ v stanju $\left|\psi,0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right)$ harmonskega oscilatorja $H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}$ ?
Izračunaj časovno odvisnost anihilacijskega operatorja $a(t)=e^{\frac{iHt}{\hbar}}ae^{-\frac{iHt}{\hbar}}$ in rezultat uporabi za izračun količin iz naloge 1.

Rešitev

Formalizem harmonskega oscilatorja

K reševanju problema harmonskega oscilatorja navadno pristopimo z uporabo/uvedbo t.i. "lestvičnih" ("ladder") operatorjev, s čimer, ob upoštevanju Diracive pisave, hitreje pridemo do vseh pomembnejših rezultatov (brez zamudnega reševanja diferencialnih enačb običajnega kvantnomehanskega formalizma).

Kreator, anihilator

Uvedemo operatorja anihilator a in njemu adjungiran kreator a^†:

$a = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}+i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right) \qquad$ in $\qquad a^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}-i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right)$

Vzpostavljeno iz »http://burana.ijs.si/wiki/index.php/Harmonski_oscilator_I«

 K reševanju problema harmonskega oscilatorja navadno pristopimo z uporabo/uvedbo t.i. "lestvičnih" ("ladder") operatorjev, s čimer, ob upoštevanju Diracive pisave, hitreje pridemo do vseh pomembnejših rezultatov (brez zamudnega reševanja diferencialnih enačb običajnega kvantnomehanskega formalizma).
 ====Kreator, anihilator====
-Uvedemo operatorja anihilator <math>a</math> in njemu adjungiran kreator <math>a^{dagger}</math>:
+Uvedemo operatorja anihilator <b><i>a</i></b> in njemu adjungiran kreator <b><i>a</i><sup>†</sup></b>:
-<math>a = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}+i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right) \qquad \textrm{in} \qquad a = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}+i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right) </math>
+<math>a = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}+i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right) \qquad </math> in <math>\qquad a^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}-i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right) </math>