Harmonski oscilator I
Iz Kvantna Mehanika I 2006 - 2007
Redakcija: 22:17, 29 marec 2007 (spremeni) 193.2.191.7 (Pogovor) ← Pojdi na prejšnje urejanje |
Trenutna redakcija (16:21, 16 julij 2007) (spremeni) (undo) WikiSysop (Pogovor | prispevki) m (- prestavitev Harmonski oscilator na Harmonski oscilator I) |
||
(One intermediate revision not shown.) | |||
Vrstica 61: | Vrstica 61: | ||
</li> | </li> | ||
<li> | <li> | ||
- | V drugem primeru bomo računali pričakovano vrednost ustreznega operatorja tako, da ga bomo najprej razvili v času in nato nanj delovali z stacionarno valovno funkcijo. Za splošen operator torej računamo takole: | + | V drugem primeru bomo računali pričakovano vrednost ustreznega operatorja tako, da ga bomo najprej razvili v času in nato nanj delovali s stacionarno valovno funkcijo. Za splošen operator torej računamo takole: |
<p><math>\langle A \rangle = \langle \psi | A \left( t \right) | \psi \rangle</math></p> | <p><math>\langle A \rangle = \langle \psi | A \left( t \right) | \psi \rangle</math></p> | ||
Vrstica 87: | Vrstica 87: | ||
<math>\begin{array}{lcl} | <math>\begin{array}{lcl} | ||
\langle x \rangle &=&\langle \psi | \hat{x} | \psi \rangle = \langle \psi | \frac{x_{0}}{\sqrt{2}}\left( a + a^{\dagger} \right) | \psi \rangle = \frac{x_{0}}{\sqrt{2}} \left( \langle a \rangle + \langle a \rangle^{\ast} \right) = \frac{x_{0}}{\sqrt{2}}2\textrm{Re}\langle a \rangle = \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re} \langle \psi | a | \psi \rangle = \\ | \langle x \rangle &=&\langle \psi | \hat{x} | \psi \rangle = \langle \psi | \frac{x_{0}}{\sqrt{2}}\left( a + a^{\dagger} \right) | \psi \rangle = \frac{x_{0}}{\sqrt{2}} \left( \langle a \rangle + \langle a \rangle^{\ast} \right) = \frac{x_{0}}{\sqrt{2}}2\textrm{Re}\langle a \rangle = \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re} \langle \psi | a | \psi \rangle = \\ | ||
- | &=& \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re}\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \langle 0| e^{i\frac{\omega}{2}t} + \langle 1| e^{i\frac{3\omega}{2}t} \right] a \left[ |0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + |1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right] \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re}\left( \frac{1}{2} \langle 0| e^{i\frac{\omega}{2}t} \sqrt{1} |0\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) = \\ | + | &=& \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re}\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \langle 0| e^{i\frac{\omega}{2}t} + \langle 1| e^{i\frac{3\omega}{2}t} \right] a \left[ |0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + |1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right] \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \\ |
+ | & = & \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re}\left( \frac{1}{2} \langle 0| e^{i\frac{\omega}{2}t} \sqrt{1} |0\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) = \\ | ||
&=& \frac{1}{\sqrt{2}} x_{0} \cos\left( \omega t \right) | &=& \frac{1}{\sqrt{2}} x_{0} \cos\left( \omega t \right) | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> |
Trenutna redakcija
Vsebina |
[spremeni] Naloga
- Kako se s časom spreminjata pričakovani vrednosti operatorjev x in x2 v stanju harmonskega oscilatorja ?
- Izračunaj časovno odvisnost anihilacijskega operatorja in rezultat uporabi za izračun količin iz naloge 1.
[spremeni] Rešitev
[spremeni] Formalizem harmonskega oscilatorja
K reševanju problema harmonskega oscilatorja navadno pristopimo z uporabo/uvedbo t.i. "lestvičnih" ("ladder") operatorjev, s čimer, ob upoštevanju Diracive pisave, hitreje pridemo do vseh pomembnejših rezultatov (brez zamudnega reševanja diferencialnih enačb običajnega kvantnomehanskega formalizma).
[spremeni] Kreacijski in anihilacijski operator
Uvedemo anihilacijski operator a in njemu adjungiran kreacijski operator a†:
in
kjer sta:
in , pri čemer je frekvenca harmonskega oscilatorja:
[spremeni] Lastnosti
Kreacijski operator torej zvišuje stanje harmonskega oscilatorja, medtem, ko nam anihilacijski operator stanje znižuje. Pri delovanju anihilacijskega operatorja na lastno valovno funkcijo osnovenega stanja, pa jo ta izniči.
[spremeni] Hamiltonov operator
S tako definiranima operatorjema na novo zapišemo še Hamiltonov operator:
Lastne energije harmonskega oscilatorja v stanju n so:
, kjer med n - to lastno energijo in Hamiltonovim operatorjem velja zveza:
[spremeni] Operatorja kraja in gibalne količine
Operatorja kraja in gibalne količine , sta sebi adjungirana oz. hermitska, na novo pa ju z anihilacijskim in kreacijskim operatorjem zapišemo v obliki:
in
[spremeni] Reševanje
Nalogo bomo reševali na dva načina, in sicer:
- V prvem primeru bomo računali pričakovano vrednost ustreznega operatorja tako, da bomo v času razvili valovno funkcijo in nato z njo delovali na operator. Za splošen operator torej računamo takole:
- V drugem primeru bomo računali pričakovano vrednost ustreznega operatorja tako, da ga bomo najprej razvili v času in nato nanj delovali s stacionarno valovno funkcijo. Za splošen operator torej računamo takole:
[spremeni] Časovna odvisnost pričakovane vrednosti x in njegovega kvadrata
[spremeni] Časovni razvoj valovne funkcije
Ob t=0 imamo harmonski oscilator v stanju z valovno funkcijo:
Časovni razvoj valovne funkcije je:
Uporabimo sedaj časovni razvoj valovne funkcije za izračun in . Pri tem bomo za pisali kar .
[spremeni] Časovna odvisnost pričakovane vrednosti x
- VRSTICA: Tu smo najprej namesto operatorja kraja vstavili njegov zapis z kreacijskim in anihilacijskim operatorjem, nato pa upoštevali distributivnost skalarnega produkta v Hilbertovem prostoru. Nazadnje smo upoštevali še, da je kreacijski operator adjungiran anihilacijskemu, od koder sledi, da je njegova pričakovana vrednost enaka konjugirani pričakovani vrednosti anihilacijskega operatorja.
- VRSTICA: Bra in ket razpišemo z baznimi valovnimi funkcijami. Nato z anihilacijskim operatorjem delujemo na ket, kjer upoštevamo in . Nato upoštevamo še . Ostanemo s konstantami in realnim delom časovnega razvoja valovne funkcije.
[spremeni] Časovna odvisnost pričakovane vrednosti kvadrata x
- VRSTICA: Najprej namesto kvadrata operatorja kraja, operator zapišemo z uporabo kreacijskega in anihilacijskega operatorja, nato izraz razpišemo.
-
VRSTICA:
-
Tu skalarni produkt najprej razbijemo na dva dela:
- Velja: , saj velja in se zato imaginarni deli odštejejo.
- Velja: , kjer smo uporabili:
-
Nato upoštevamo, da velja:
- , ker velja , saj z anihilacijskim operatorjem dvakrat delujemo na valovno funkcijo oblike
- , kjer velja: , saj je valovna funkcija ψ normirana. V drugem delu velja: , tako, da dobimo , kjer upoštevamo še
-
Tu skalarni produkt najprej razbijemo na dva dela:
[spremeni] Časovna odvisnost anihilacijskega operatorja
[spremeni] Časovni razvoj in Hamiltonov operator
Pokažimo najprej, da valovno funkcijo, s pomočjo Hamiltonovega operatorja, razvijemo v času kot:
Začnemo z izrazom , ki ga razvijemo v času z uporabo gornjega izraza:
V računu smo eksponentni del najprej razvili v potenčno vrsto, upoštevali zvezo , nato pa vrsto spet izrazili v funkcijski obliki.
[spremeni] Izračun časovne odvisnosti
Podobno, kot smo definirali , definiramo :
Izraz odvajamo in dobimo:
V računu smo upoštevali, da operatorja in komutirata, tako, da velja:
Preden nadaljujemo z izračunom, si za poljubna operatorja A in B poglejmo še nekaj lastnosti časovnega razvoja operatorjev:
- Pokažimo, da velja zveza:
Nadaljujmo z izračunom časovne odvisnosti anihilacijskega operatorja:
- Velja:
Od tod dobimo diferencialno enačbo za anihilacijski operator, ki je oblike:
Rešitev enačbe je , kjer upoštevamo še: .
Časovni razvoj anihilacijskega operatorja je torej:
.
[spremeni] Časovna odvisnost pričakovane vrednosti x
Izračunajmo sedaj pričakovano vrednost koordinate še s časovnim razvojem anihilatorskega operatorja. Iz prvega izračuna vemo, da je .
[spremeni] Časovna odvisnost pričakovane vrednosti kvadrata x
Izračunajmo s časovnim razvojem anihilatorskega operatorja še pričakovano vrednost kvadrata koordinate . Iz prvega izračuna vemo, da je .
Upoštevamo naslenje zveze:
- Ko v enačbo vstavimo , z enakimi argumenti, kot v prvem primeru velja: .
- Ker je valovna funkcija ψ normirana, je .
- Za adjungirane operatorje velja: . Od tod dobimo iz časovnega razvoja anihilacijskega operatorja kreacijskega: .
V enačbo vstavimo časovni razvoj kreacijskega operatorja, upoštevamo ostali zvezi in zveze, ki smo jih uporabili v prvem primeru ter dobimo:
.