Dvodimenzionalni harmonski oscilator

Iz Kvantna Mehanika I 2006 - 2007

(Primerjava redakcij)

Redakcija: 16:09, 24 maj 2007

Naloga

Obravnavaj lastna stanja dvodimenzionalnega harmonskega oscilatorja

$H=\frac{\mathbf{p^2}}{2m}+\frac{1}{2}a_x x^2+\frac{1}{2}a_y y^2$ .

V primeru, ko je $a x = a y$ , poišči taka lastna stanja, ki so hkrati tudi lastna stanja operatorja vrtilne količine okoli osi $z$

$L_z=-i\hbar\frac{\partial}{\partial z}$ .

Rešitev

Vzpostavljeno iz »http://burana.ijs.si/wiki/index.php/Dvodimenzionalni_harmonski_oscilator«

 == Rešitev ==
-\subsubsection{\textbf{Naloga:}\ }
-Obravnavaj Lastna stanja dvodimenzionalnega harmonskega oscilatorja.
-\[
-H=\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}a_{x}x^{2}+\frac{1}{2}a_{y}y^{2}
-\]
-V primeru ko je $a_{x}=\allowbreak a_{y}$ poi\v{s}\v{c}i taka lastna stanja,
-ki so hkrati tudi lastna stanja operatorja vrtilne koli\v{c}ine okoli osi
-z:\
-\[
-L_{z}=-i\hbar \frac{\partial }{\partial z}
-\]
-\subsubsection{\protect\bigskip Lastna stanja vsote neodvisnih Hamiltonovih
-operatorjev}
-V splo\v{s}nem velja, da \v{c}e lahko hamiltonian razbijemo na vsoto
-neodvisnih \v{c}lenov $H_{i}$, je lastna funkcija takega hamiltoniana oblike%
-\[
-\psi =\prod\limits_{i=1}^{n}\psi _{i}
-\]%
-kjer je $\psi _{i}$ lastna funkcija operatorja $H_{i}$, lastna vrednost pa
-je vsota lastnih vrednosti za posamezne $H_{i}$. To vidimo iz%
-\[
-\left( H_{1}+H_{2}+...+H_{n}\right) \psi _{1}\psi _{2}...\psi
-_{n}=(E_{1}+E_{2}+...+E_{n})\psi _{1}\psi _{2}...\psi _{n}
-\]%
-\[
-H_{1}\psi _{1}\psi _{2}...\psi _{n}+H_{2}\psi _{1}\psi _{2}...\psi
-_{n}+...+H_{n}\psi _{1}\psi _{2}...\psi _{n}=E_{1}\psi _{1}\psi _{2}...\psi
-_{n}+E_{2}\psi _{1}\psi _{2}...\psi _{n}+...+E_{n}\psi _{1}\psi _{2}...\psi
-_{n}
-\]%
-Vidimo, da je $H_{i}\psi _{1}\psi _{2}...\psi _{i}...\psi _{n}=E_{i}\psi
-_{1}\psi _{2}...\psi _{i}...\psi _{n}$, saj operator $H_{i}$ deluje le na
-funkcijo $\psi _{i}$, vse ostale pa se iz izraza okraj\v{s}ajo.
-\subsubsection{\protect\bigskip Lastna stanja 2D harmoni\v{c}nega oscilatorja%
-}
-Hamiltonian za 2D harmoni\v{c}ni oscilator zapi\v{s}emo v komponentah:%
-\[
-H=\frac{p_{x}^{2}}{2m}+\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}a_{x}x^{2}+\frac{1}{2}%
-a_{y}y^{2}=H_{x}+H_{y}
-\]%
-Vidimo, da ga lahko razstavimo v vsoto hamiltonianov za posamezna
-oscilatorja, torej bo lastno stanje enako produktu lastnih stanj
-hamiltonovega operatorja za posamezno smer.
-Najprej si poglejmo poseben primer:
-\paragraph{$a_{x}=0,a_{y}>0$}
-V smeri x torej nimamo vezanega stanja, re\v{s}itev predstavlja ravni val%
-\[
-\psi _{x}=e^{ik_{x}x}={}_{x}\langle x|k_{x}\rangle _{x}
-\]%
-kjer je $k_{x}=\frac{1}{\hbar }\sqrt{2mE_{x}}$, v smeri y pa imamo%
-\[
-\psi _{y}={}_{y}\langle y|n_{y}\rangle _{y}
-\]%
-kjer je $|n_{y}\rangle _{y}=\frac{a_{y}^{+n}}{\sqrt{n!}}|0\rangle _{y}$ n-to
-lastno stanje enodimenzionalnega harmoni\v{c}nega oscilatorja. Celotna
-valovna funkcija je torej produkt, ki ga ozna\v{c}imo:%
-\[
-|k_{x}n_{y}\rangle =|k_{x}\rangle |n_{y}\rangle ,
-\]%
-lastno energijo pa zapi\v{s}emo kot%
-\[
-E=E_{x}+E_{y}=\frac{(\hbar k_{x})^{2}}{2m}+\hbar \omega _{y}\left( n_{y}+%
-\frac{1}{2}\right)
-\]%
-kjer je $\omega _{y}=\sqrt{\frac{a_{y}}{m}}.$
-\paragraph{$a_{x}>0,a_{y}>0$}
-V tem primeru imamo prava vezana stanja, ki jih zapi\v{s}emo kot%
-\[
-|n_{x}n_{y}\rangle =|n_{x}\rangle _{x}|n_{y}\rangle _{y}
-\]%
-z lastno energijo
-\[
-E=\hbar \omega _{x}\left( n_{x}+\frac{1}{2}\right) +\hbar \omega _{y}\left(
-n_{y}+\frac{1}{2}\right)
-\]
-\paragraph{$\protect\bigskip a_{x}=a_{y}=a$}
-V primeru, da imamo $a_{x}=a_{y}=a$, ima potencial rotacijsko simetri\v{c}en
-paraboli\v{c}nen profil. Lastne energije so v tem primeru enake%
-\[
-E=\hbar \omega (n_{x}+n_{y}+1)
-\]%
-kjer je $\omega =\sqrt{\frac{a}{m}}$. Vidimo, da dobimo stanja, ki so
-degenerirana:
-\[
-\begin{tabular}{ll}
-$n_{x}$ & $n_{y}$ \\ \hline
-\multicolumn{1}{|l}{$0$} & \multicolumn{1}{l|}{$0$} \\ \hline
-\multicolumn{1}{|l}{$0$} & \multicolumn{1}{l|}{$1$} \\
-\multicolumn{1}{|l}{$1$} & \multicolumn{1}{l|}{$0$} \\ \hline
-\multicolumn{1}{|l}{$2$} & \multicolumn{1}{l|}{$0$} \\
-\multicolumn{1}{|l}{$1$} & \multicolumn{1}{l|}{$1$} \\
-\multicolumn{1}{|l}{$0$} & \multicolumn{1}{l|}{$1$} \\ \hline
-\end{tabular}%
-\]
-$n$ - to stanje je torej $(n+1)$ krat degenerirano.
-\subsubsection{Lastna stanja operatorja vrtilne koli\v{c}ine}
-Zgornji hamiltonian zapi\v{s}emo eksplicitno v polarnem koordinatnem
-sistemu:
-\[
-H\ =-\frac{\hbar ^{2}}{2m}\nabla ^{2}+\frac{1}{2}a\left( x^{2}+y^{2}\right)
-=-\frac{\hbar ^{2}}{2m}\left[ \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left( r%
-\frac{\partial }{\partial r}\right) +\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial ^{2}}{%
-\partial \varphi ^{2}}\right] +\frac{1}{2}ar^{2}
-\]%
-Vidimo, da komponenta $\varphi $ v izrazu ne nastopa eksplicitno. \v{C}e zapi%
-\v{s}emo operator vrtilne koli\v{c}ine%
-\[
-L_{z}=-i\hbar \frac{\partial }{\partial \varphi },
-\]%
-vidimo, da velja: $\left[ L_{z},H\right] =0$, torej je lastna vrednost
-operatorja $L_{z}$ dobro kvantno \v{s}tevilo. Lastna stanja vrtilne koli\v{c}%
-ine dobimo:%
-\[
-L_{z}|\psi \rangle =l|\psi \rangle
-\]%
-\[
--i\hbar \frac{\partial \psi }{\partial \varphi }=l\psi
-\]%
-\[
-\psi =Ae^{i\frac{l}{\hbar }\varphi }
-\]
-Upo\v{s}tevamo periodi\v{c}ni robni pogoj:
-\[
-\psi \left( 2\pi +\varphi \right) =\psi \left( \varphi \right)
-\]%
-\[
-e^{i\frac{l}{\hbar }2\pi }=1\Rightarrow \frac{l}{\hbar }2\pi =2\pi
-m\Rightarrow l=m\hbar
-\]
-Izraz \v{s}e normaliziramo:%
-\[
-=\int_{0}^{2\pi }\psi ^{\ast }\psi d\varphi =A^{2}2\pi \Rightarrow A=\frac{1%
-}{\sqrt{2\pi }}
-\]%
-Valovna funkcija je torej%
-\[
-\psi _{m}\left( \varphi \right) =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{im\varphi }
-\]%
-Ker sta torej $n=n_{1}+n_{2}$ in $m$ dobri kvantni \v{s}tevili, lahko iz teh
-stanj sestavimo bazo. Poglejmo sedaj, kako izrazimo bazne vektorje te nove
-baze $|nm\rangle $ z baznimi vektorji stare baze $|n_{1}n_{2}\rangle .$
-Prvi dve stanji enodimenzionalnega harmoni\v{c}nega oscilatorja poznamo:%
-\[
-\psi _{0}(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{\pi x_{0}^{2}}}e^{-\frac{x^{2}}{2x_{0}^{2}}}
-\]%
-\[
-\psi _{1}(x)=\frac{\sqrt{2}x}{x_{0}}\psi _{0}(x)
-\]%
-Oglejmo si torej stanja $|1,0\rangle ,$ $|0,1\rangle $, (v bazi $%
-|n_{1}n_{2}\rangle $) in jih posku\v{s}ajmo kombinirati tako, da bomo lahko
-iz njih dobili lastna stanja v bazi $|nm\rangle ,$ ki bodo hkrati lastna
-stanja $H$ in $L_{z}.$%
-\[
-\psi _{01}=\psi _{0}\psi _{1}=\frac{1}{\sqrt[4]{\pi x_{0}^{2}}}e^{-\frac{%
-x^{2}}{2x_{0}^{2}}}\sqrt{2}\frac{y}{x_{0}}\frac{1}{\sqrt[4]{\pi x_{0}^{2}}}%
-e^{-\frac{y^{2}}{2x_{0}^{2}}}=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{1}{x_{0}^{2}}r\sin
-\varphi \text{ }e^{-\frac{r^{2}}{2x_{0}^{2}}}
-\]%
-\[
-\psi _{10}=\psi _{1}\psi _{0}=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{1}{x_{0}^{2}}r\cos
-\varphi \text{ }e^{-\frac{r^{2}}{2x_{0}^{2}}}
-\]%
-kjer smo upo\v{s}tevali polarni zapis:\ $x=r\cos \varphi $ in $y=r\sin
-\varphi .$\ Vidimo, da lahko valovni funkciji sestavimo tako, da iz kotnih
-funkcij dobimo ravno \v{c}len $e^{im\varphi }$, kjer je $m$ lahko 1 ali -1.%
-\[
-|1,\pm 1\rangle _{nm}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( |1,0\rangle _{n_{1}n_{2}}\pm
-i|0,1\rangle _{n_{1}n_{2}}\right)
-\]%
-Poleg valovne funkcije smo zapisali oznako baze.
-Ta postopek je bil trivialen za prvo vzbujeno stanje, za vi\v{s}ja stanja pa
-ni mogo\v{c}e tako enostavno ugotoviti, zato bomo izra\v{c}un ponovili z
-nekoliko bolj splo\v{s}nim postopkom. V splo\v{s}nem za lastna stanja
-vrtilne koli\v{c}ine velja%
-\[
-L_{z}\psi =l\psi
-\]%
-kjer je $l=m\hbar $. Zapi\v{s}emo splo\v{s}en nastavek za valovno funkcijo v
-stari bazi:%
-\[
-\psi =a|1,0\rangle +b|0,1\rangle
-\]%
-V nastavek smo vklju\v{c}ili zgolj stanja z isto energijo. Ta nastavek
-vstavimo v ena\v{c}bo za lastna stanja vrtilne koli\v{c}ine in dobimo%
-\[
-aL_{z}|1,0\rangle +bL_{z}|0,1\rangle =am\hbar |1,0\rangle +bm\hbar
-|0,1\rangle
-\]%
-\v{C}e sedaj ena\v{c}bo posami\v{c} z desne mno\v{z}imo z $\langle 1,0|$ in $%
-\langle 0,1|$ (oz. projeciramo ena\v{c}bo na posamezne smeri), dobimo ena%
-\v{c}bi:
-\[
-\langle 1,0|L_{z}|1,0\rangle a+\langle 1,0|L_{z}|0,1\rangle b=am\hbar
-\]%
-\[
-\langle 0,1|L_{z}|1,0\rangle a+\langle 0,1|L_{z}|0,1\rangle b=bm\hbar
-\]%
-Oziroma v matri\v{c}ni obliki:%
-\[
-\begin{bmatrix}
-\langle 1,0|L_{z}|1,0\rangle  & \langle 1,0|L_{z}|0,1\rangle  \\
-\langle 0,1|L_{z}|1,0\rangle  & \langle 0,1|L_{z}|0,1\rangle
-\end{bmatrix}%
-\begin{bmatrix}
-a \\
-b%
-\end{bmatrix}%
-=m\hbar
-\begin{bmatrix}
-a \\
-b%
-\end{bmatrix}%
-\]%
-Vidimo torej, da ima ta matrika lastni vrednosti, ki sta ravno lastni
-vrednosti operatorja vrtilne koli\v{c}ine, in lastna vektorja, ki sta ravno
-koeficienta razvoja valovne funkcije po novi bazi.\ Lastni vrednosti matrike
-nam bosta torej definirali nova bazna vektorja, pripadajo\v{c}a lastna
-vektorja pa bosta koeficienta razvoja teh novih baznih vektorjev po stari
-bazi. V na\v{s}em primeru torej dobimo:%
-\[
-\langle 0,1|L_{z}|0,1\rangle =\int\limits_{0}^{2\pi }\frac{2}{\pi }\frac{1}{%
-x_{0}^{2}}r^{2}\sin \varphi \text{ }\left( -i\hbar \right) \cos \varphi
-\text{ }e^{-\frac{2r^{2}}{2x_{0}^{2}}}rdrd\varphi =0\text{, \ \ \ \ integral
-kotnega dela je o\v{c}itno ni\v{c}}
-\]%
-\[
-\langle 1,0|L_{z}|1,0\rangle =\int_{0}^{2\pi }\frac{2}{\pi }\frac{1}{%
-x_{0}^{2}}r^{2}\cos \varphi \text{ }\left( i\hbar \right) \sin \varphi \text{
-}e^{-\frac{2r^{2}}{2x_{0}^{2}}}rdrd\varphi =0
-\]%
-\[
-\langle 0,1|L_{z}|1,0\rangle =\int\limits_{0}^{2\pi }\frac{2}{\pi }\frac{1}{%
-x_{0}^{4}}r^{2}\sin \varphi \left( -i\hbar \right) \left( -\sin \varphi
-\right) e^{\frac{-2r^{2}}{2x_{0}^{2}}}rdrd\varphi =i\hbar
-\int\limits_{0}^{2\pi }|\psi _{01}|^{2}=i\hbar
-\]%
-\[
-\langle 1,0|L_{z}|0,1\rangle =\int\limits_{0}^{2\pi }\frac{2}{\pi }\frac{1}{%
-x_{0}^{4}}r^{2}\cos \varphi \left( -i\hbar \right) \left( \cos \varphi
-\right) e^{\frac{-2r^{2}}{2x_{0}^{2}}}rdrd\varphi =-i\hbar
-\int\limits_{0}^{2\pi }|\psi _{10}|^{2}=-i\hbar
-\]
-Imamo torej matriko:
-\[
-\begin{bmatrix}
-& i\hbar  \\
--i\hbar  & 0%
-\end{bmatrix}%
-\]%
-Lastni vrednosti sta:
-\[
-\lambda ^{2}-\hbar ^{2}=0\Rightarrow \lambda _{1,2}=\pm \hbar
-\]%
-Lastna vektorja pa:%
-\[
-c%
-\begin{bmatrix}
-\\
-i%
-\end{bmatrix}%
-,\text{ \ \ }c%
-\begin{bmatrix}
-\\
--i%
-\end{bmatrix}%
-,\text{ }c=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{ (dobimo iz normalizacije)}
-\]%
-Kon\v{c}ni rezultat je torej:
-\[
-|1,1\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( |1,0\rangle +i|0,1\rangle \right)
-\]%
-\[
-|1,-1\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( |1,0\rangle -i|0,1\rangle \right)
-\]%
-kar je isto kot prej. Enako bi lahko postopali tudi za vi\v{s}ja vzbujena
-stanja.
-\end{document}