Harmonski oscilator I

Iz Kvantna Mehanika I 2006 - 2007

(Primerjava redakcij)

Skoči na: navigacija, iskanje

Redakcija: 10:07, 22 marec 2007

Vsebina

1 Naloga
2 Rešitev
- 2.1 Formalizem harmonskega oscilatorja
- 2.2 Časovna odvisnost pričakovane vrednosti x in njegovega kvadrata
  - 2.2.1 Časovni razvoj valovne funkcije
  - 2.2.2 Časovna odvisnost pričakovane vrednosti x

Naloga

Kako se s časom spreminjata pričakovani vrednosti operatorjev $x$ in $x 2$ v stanju $\left|\psi,0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right)$ harmonskega oscilatorja $H=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}$ ?
Izračunaj časovno odvisnost anihilacijskega operatorja $a(t)=e^{\frac{iHt}{\hbar}}ae^{-\frac{iHt}{\hbar}}$ in rezultat uporabi za izračun količin iz naloge 1.

Rešitev

Formalizem harmonskega oscilatorja

K reševanju problema harmonskega oscilatorja navadno pristopimo z uporabo/uvedbo t.i. "lestvičnih" ("ladder") operatorjev, s čimer, ob upoštevanju Diracive pisave, hitreje pridemo do vseh pomembnejših rezultatov (brez zamudnega reševanja diferencialnih enačb običajnega kvantnomehanskega formalizma).

Kreacijski in anihilacijski operator

Uvedemo anihilacijski operator a in njemu adjungiran kreacijski operator a^†:

$a = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}+i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right)$ in $a^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\widehat{x}}{x_{0}}-i \frac{\widehat{p}}{p_{0}} \right) ,$

kjer sta:

$x_{0} = \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}$ in $p_{0} = \frac{\hbar}{x_{0}}$ , pri čemer je frekvenca harmonskega oscilatorja: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.$

Lastnosti

$\left[ a,a^{\dagger} \right] = 1.$
$a^{\dagger}|n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle \quad \Rightarrow \quad \left(a^{\dagger}\right)^{n}|0\rangle = \sqrt{n!}|n\rangle$
$a|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle$
$a|0\rangle = 0$

Kreacijski operator torej zvišuje stanje harmonskega oscilatorja, medtem, ko nam anihilacijski operator stanje znižuje. Pri delovanju anihilacijskega operatorja na lastno valovno funkcijo osnovenega stanja, pa jo ta izniči.

Hamiltonov operator

S tako definiranima operatorjema na novo zapišemo še Hamiltonov operator:

$H = \frac{\hat{p}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k\hat{x}^{2}=\hbar \omega \left( a^{\dagger}a+\frac{1}{2} \right).$

Lastne energije harmonskega oscilatorja v stanju n so:

$E_{n} = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right)$ , kjer med n - to lastno energijo in Hamiltonovim operatorjem velja zveza: $E_{n} | n \rangle = H | n \rangle.$

Operatorja kraja in gibalne količine

Operatorja kraja $\hat{x}$ in gibalne količine $\hat{p}$ , sta sebi adjungirana oz. hermitska, na novo pa ju z anihilacijskim in kreacijskim operatorjem zapišemo v obliki:

$\hat{x} = \frac{x_{0}}{\sqrt{2}}\left( a + a^{\dagger} \right)$ in $\hat{p} = \frac{p_{0}}{\sqrt{2}}\left( a - a^{\dagger} \right).$

Časovna odvisnost pričakovane vrednosti x in njegovega kvadrata

Časovni razvoj valovne funkcije

Ob t=0 imamo harmonski oscilator v stanju z valovno funkcijo:

$|\psi,0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |0\rangle + |1\rangle \right).$

Časovni razvoj valovne funkcije je:

$|\psi,t\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |0\rangle e^{-i\frac{E_{0}}{\hbar}t} + |1\rangle e^{-i\frac{E_{1}}{\hbar}t} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + |1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) .$

Časovna odvisnost pričakovane vrednosti x

$\begin{matrix}\langle \psi | \hat{x} | \psi \rangle &=& \langle \psi | \frac{x_{0}}{\sqrt{2}}\left( a + a^{\dagger} \right) | \psi \rangle = \frac{x_{0}}{\sqrt{2}} \left( \langle a \rangle + \langle a \rangle^{\ast} \right) = \frac{x_{0}}{\sqrt{2}}2\textrm{Re}\langle a \rangle = \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re} \langle \psi | a | \psi \rangle = \\ &=& \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re}\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \langle 0| e^{i\frac{\omega}{2}t} + \langle 1| e^{i\frac{3\omega}{2}t} \right] a \left[ |0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + |1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right] \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re}\left( \frac{1}{2} \langle 0| e^{i\frac{\omega}{2}t} \sqrt{1} |0\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) =\\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}} x_{0} \cos\left( \omega t \right) \end{matrix}$

Tu smo najprej namesto operatorja kraja vstavili njegov zapis z kreacijskim in anihilacijskim operatorjem, nato pa upoštevali distributivnost skalarnega produkta v Hilbertovem prostoru. Nazadnje smo upoštevali še, da je kreacijski operator adjungiran anihilacijskemu, od koder sledi, da je njegova pričakovana vrednost enaka konjugirani pričakovani vrednosti anihilacijskega operatorja.

Vzpostavljeno iz »http://burana.ijs.si/wiki/index.php/Harmonski_oscilator_I«

 <math>\begin{matrix}\langle \psi | \hat{x} | \psi \rangle &=& \langle \psi | \frac{x_{0}}{\sqrt{2}}\left( a + a^{\dagger} \right) | \psi \rangle = \frac{x_{0}}{\sqrt{2}} \left( \langle a \rangle + \langle a \rangle^{\ast} \right) = \frac{x_{0}}{\sqrt{2}}2\textrm{Re}\langle a \rangle = \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re} \langle \psi | a | \psi \rangle = \\
-&=& \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re}\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \langle 0| e^{i\frac{\omega}{2}t} + \langle 1| e^{i\frac{3\omega}{2}t} \right] a \left[ |0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + |1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right] \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \\
+&=& \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re}\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \langle 0| e^{i\frac{\omega}{2}t} + \langle 1| e^{i\frac{3\omega}{2}t} \right] a \left[ |0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + |1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right] \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re}\left( \frac{1}{2} \langle 0| e^{i\frac{\omega}{2}t} \sqrt{1} |0\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) =\\
-&=&
+&=& \frac{1}{\sqrt{2}} x_{0} \cos\left( \omega t \right)
 \end{matrix}</math>
 Tu smo najprej namesto operatorja kraja vstavili njegov zapis z kreacijskim in anihilacijskim operatorjem, nato pa upoštevali distributivnost skalarnega produkta v Hilbertovem prostoru. Nazadnje smo upoštevali še, da je kreacijski operator adjungiran anihilacijskemu, od koder sledi, da je njegova pričakovana vrednost enaka konjugirani pričakovani vrednosti anihilacijskega operatorja.