Koherentna stanja harmonskega oscilatorja I - Zgodovina strani

193.95.248.110 ob 20:36, 24 maj 2007

193.95.248.110 — Thu, 24 May 2007 20:36:37 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 20:36, 24 maj 2007
Vrstica 61:		Vrstica 61:
	-\frac{p_{0}^{2}}{2}\langle a^2 \underbrace{-aa^\dagger-a^\dagger a}_{-1-2a^\dagger a}+a^{\dagger 2} \rangle=		-\frac{p_{0}^{2}}{2}\langle a^2 \underbrace{-aa^\dagger-a^\dagger a}_{-1-2a^\dagger a}+a^{\dagger 2} \rangle=
	-\frac{p_{0}^{2}}{2}\langle z^2 - 2z^z+z^{2}-1 \rangle=		-\frac{p_{0}^{2}}{2}\langle z^2 - 2z^z+z^{2}-1 \rangle=
-	-\frac{p_{0}^{2}}{2}\langle (z-z*)^2-1\rangle =	+	-\frac{p_{0}^{2}}{2}\langle (z-z^{*})^2-1\rangle =
	\frac{p_{0}^{2}}{2}(4Im(z)^2+1)</math>		\frac{p_{0}^{2}}{2}(4Im(z)^2+1)</math>

Vrstica 88:		Vrstica 88:
	<math>\langle H^2\rangle = (\hbar \omega)^2 \langle (a^\dagger a +\frac{1}{2})^2 \rangle=		<math>\langle H^2\rangle = (\hbar \omega)^2 \langle (a^\dagger a +\frac{1}{2})^2 \rangle=
	(\hbar \omega)^2 \langle (a^\dagger a)^2 + a^\dagger a +\frac{1}{4}\rangle=		(\hbar \omega)^2 \langle (a^\dagger a)^2 + a^\dagger a +\frac{1}{4}\rangle=
-	(\hbar \omega)^2 \langle \underbrace{a^\dagger a a^\dagger a}_{a^\dagger(1+ a^\dagger a )a=aa^\dagger + a^{\dagger 2}a^2}+ a^\dagger a +\frac{1}{4}\rangle=	+	(\hbar \omega)^2 \langle \underbrace{a^\dagger a a^\dagger a}_{a^\dagger(1+ a^\dagger a )a=a^\dagger a + a^{\dagger 2}a^2}+ a^\dagger a +\frac{1}{4}\rangle=

	(\hbar \omega)^2 (2\|z\|^2 + \|z\|^4 + \frac{1}{4} ) </math>		(\hbar \omega)^2 (2\|z\|^2 + \|z\|^4 + \frac{1}{4} ) </math>

193.95.248.110 ob 23:23, 31 marec 2007

193.95.248.110 — Sat, 31 Mar 2007 23:23:19 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 23:23, 31 marec 2007
Vrstica 49:		Vrstica 49:
	Na podoben način dobimo nedoločenost gibalne količine.		Na podoben način dobimo nedoločenost gibalne količine.

-	Operator gibalne količine <math>p=\frac{p_{0}}{\sqrt{2}}(a-a^\dagger) </math>, kjer je <math> p_{0}=\frac{\hbar}{x_{0}}</math>	+	Operator gibalne količine <math>p=\frac{p_{0}}{i \sqrt{2}}(a-a^\dagger) </math>, kjer je <math> p_{0}=\frac{\hbar}{x_{0}}</math>

	Povprečna vrednost gibalne količine:		Povprečna vrednost gibalne količine:
Vrstica 88:		Vrstica 88:
	<math>\langle H^2\rangle = (\hbar \omega)^2 \langle (a^\dagger a +\frac{1}{2})^2 \rangle=		<math>\langle H^2\rangle = (\hbar \omega)^2 \langle (a^\dagger a +\frac{1}{2})^2 \rangle=
	(\hbar \omega)^2 \langle (a^\dagger a)^2 + a^\dagger a +\frac{1}{4}\rangle=		(\hbar \omega)^2 \langle (a^\dagger a)^2 + a^\dagger a +\frac{1}{4}\rangle=
		+	(\hbar \omega)^2 \langle \underbrace{a^\dagger a a^\dagger a}_{a^\dagger(1+ a^\dagger a )a=aa^\dagger + a^{\dagger 2}a^2}+ a^\dagger a +\frac{1}{4}\rangle=
		+
	(\hbar \omega)^2 (2\|z\|^2 + \|z\|^4 + \frac{1}{4} ) </math>		(\hbar \omega)^2 (2\|z\|^2 + \|z\|^4 + \frac{1}{4} ) </math>

193.95.248.110 ob 16:04, 30 marec 2007

193.95.248.110 — Fri, 30 Mar 2007 16:04:42 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 16:04, 30 marec 2007
Vrstica 59:		Vrstica 59:

	<math> \langle p^2\rangle =-\frac{p_{0}^{2}}{2} \langle (a-a^\dagger)^2 \rangle=		<math> \langle p^2\rangle =-\frac{p_{0}^{2}}{2} \langle (a-a^\dagger)^2 \rangle=
-	-\frac{p_{0}^{2}}{2}\langle a^2 - \underbrace{aa^\dagger-a^\dagger a}+a^{\dagger 2} \rangle=	+	-\frac{p_{0}^{2}}{2}\langle a^2 \underbrace{-aa^\dagger-a^\dagger a}_{-1-2a^\dagger a}+a^{\dagger 2} \rangle=
-	-\frac{p_{0}^{2}}{2}\langle z^2 - 2z^z+{2} \rangle	+	-\frac{p_{0}^{2}}{2}\langle z^2 - 2z^z+z^{2}-1 \rangle=
-	-\frac{p_{0}^{2}}{2} (z-z*)^2-1 =\frac{p_{0}^{2}}{2})(4Im(z)^2+1)</math>	+	-\frac{p_{0}^{2}}{2}\langle (z-z*)^2-1\rangle =
		+	\frac{p_{0}^{2}}{2}(4Im(z)^2+1)</math>

	Nedoločenost gibalne količine je:		Nedoločenost gibalne količine je:
Vrstica 89:		Vrstica 90:
	(\hbar \omega)^2 (2\|z\|^2 + \|z\|^4 + \frac{1}{4} ) </math>		(\hbar \omega)^2 (2\|z\|^2 + \|z\|^4 + \frac{1}{4} ) </math>

-	Nedoločenost energije je:	+	Nedoločenost energije je:
		+
	<math>\delta H= \sqrt{\langle H^2\rangle -\langle H\rangle^2}=\hbar \omega \|z\|</math>		<math>\delta H= \sqrt{\langle H^2\rangle -\langle H\rangle^2}=\hbar \omega \|z\|</math>

Tadeja ob 09:43, 30 marec 2007

Tadeja — Fri, 30 Mar 2007 09:43:30 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 09:43, 30 marec 2007
Vrstica 54:		Vrstica 54:

	<math> \langle p\rangle =\frac{p_{0}}{i \sqrt{2}} \langle a-a^\dagger \rangle=\frac{p_{0}}{i \sqrt{2}} \langle z-z^* \rangle=		<math> \langle p\rangle =\frac{p_{0}}{i \sqrt{2}} \langle a-a^\dagger \rangle=\frac{p_{0}}{i \sqrt{2}} \langle z-z^* \rangle=
-	\frac{p_{0}}{i \sqrt{2}}i 2Im(z)=\frac{p_{0}}{i \sqrt{2}}2Im(z).</math>	+	\frac{p_{0}}{i \sqrt{2}}i 2Im(z)=p_{0} \sqrt{2}Im(z).</math>

	Povprečje kvadrata gibalne količine:		Povprečje kvadrata gibalne količine:

193.95.248.110 ob 07:35, 30 marec 2007

193.95.248.110 — Fri, 30 Mar 2007 07:35:06 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 07:35, 30 marec 2007
Vrstica 65:		Vrstica 65:
	Nedoločenost gibalne količine je:		Nedoločenost gibalne količine je:
	<math>\delta p= \sqrt{\langle p^2\rangle -\langle p\rangle^2}=\frac{p_{0}}{\sqrt{2}}</math>		<math>\delta p= \sqrt{\langle p^2\rangle -\langle p\rangle^2}=\frac{p_{0}}{\sqrt{2}}</math>
		+
		+	Heisenbergovo načelo nedoločljivosti pokaže, da pri koherentih stanjih velja enakost zveze:
		+
		+	<math>\delta p\delta x = \frac{x_{0}p_{0}}{2}=\frac{\hbar}{2}</math>
		+
		+
		+	====Nedoločenost energije====
		+
		+
		+	Operator energije
		+	<math> H = \hbar \omega (a^\dagger a + \frac{1}{2})</math>
		+
		+	Povprečna vrednost energije
		+
		+	<math> \langle H\rangle =\hbar \omega \langle a^\dagger a +\frac{1}{2} \rangle=
		+	\hbar \omega \langle z^* z +\frac{1}{2} \rangle=
		+	\hbar \omega (\|z\|^2 +\frac{1}{2})</math>
		+
		+	Povprečna vrednost kvadrata energije:
		+
		+	<math>\langle H^2\rangle = (\hbar \omega)^2 \langle (a^\dagger a +\frac{1}{2})^2 \rangle=
		+	(\hbar \omega)^2 \langle (a^\dagger a)^2 + a^\dagger a +\frac{1}{4}\rangle=
		+	(\hbar \omega)^2 (2\|z\|^2 + \|z\|^4 + \frac{1}{4} ) </math>
		+
		+	Nedoločenost energije je:
		+	<math>\delta H= \sqrt{\langle H^2\rangle -\langle H\rangle^2}=\hbar \omega \|z\|</math>

193.95.248.110 ob 07:19, 30 marec 2007

193.95.248.110 — Fri, 30 Mar 2007 07:19:05 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 07:19, 30 marec 2007
Vrstica 24:		Vrstica 24:

	<math>\langle x^2\rangle = \frac{x_{0}^2}{2}\langle (a+a^\dagger)^2\rangle=		<math>\langle x^2\rangle = \frac{x_{0}^2}{2}\langle (a+a^\dagger)^2\rangle=
-	\frac{x_{0}^2}{2}\langle a^2+aa^\dagger+a^\dagger a + a^{\dagger 2}\rangle</math>	+	\frac{x_{0}^2}{2}\langle a^2+aa^\dagger+a^\dagger a + a^{\dagger 2}\rangle=</math>
		+
		+	<math>\frac{x_{0}^{2}}{2}\langle a^2+1+2a^\dagger a+a^{\dagger 2}\rangle=
		+	\frac{x_{0}^{2}}{2}(z^2+1+2z^z+z^{2})=
		+	\frac{x_{0}^{2}}{2}((z^*+z)^2+1)=
		+	\frac{x_{0}^{2}}{2}(4Re(z)^2+1)</math>
		+
		+	Drugi člen izrazimo z zvezo <math>aa^\dagger=1+a^\dagger a</math>,
		+	tako da je v produktu anihilacijski operator pred kreacijskim.
		+
		+	Ker so koherentna stanja lastna stanja anihilacijskega operatorja jih lahko izrazimo iz
		+	anihilacijskega operatorja preko:
		+
		+	<math>\langle z\|a^{\dagger m}a^{n}\|z\rangle = \langle a^m z\|z^n\|z\rangle =
		+	\langle z^m z\|z^n\|z \rangle =z^{m}z^n\langle z\|z \rangle = z^{m}z^n</math>
		+
		+
		+	Nedoločenost lege je:
		+	<math>\delta x= \sqrt{\langle x^2\rangle -\langle x\rangle^2}=\frac{x_{0}}{\sqrt{2}}</math>
		+
		+
		+	====Nedoločenost gibalne količine====
		+
		+	Na podoben način dobimo nedoločenost gibalne količine.
		+
		+	Operator gibalne količine <math>p=\frac{p_{0}}{\sqrt{2}}(a-a^\dagger) </math>, kjer je <math> p_{0}=\frac{\hbar}{x_{0}}</math>
		+
		+	Povprečna vrednost gibalne količine:
		+
		+	<math> \langle p\rangle =\frac{p_{0}}{i \sqrt{2}} \langle a-a^\dagger \rangle=\frac{p_{0}}{i \sqrt{2}} \langle z-z^* \rangle=
		+	\frac{p_{0}}{i \sqrt{2}}i 2Im(z)=\frac{p_{0}}{i \sqrt{2}}2Im(z).</math>
		+
		+	Povprečje kvadrata gibalne količine:
		+
		+	<math> \langle p^2\rangle =-\frac{p_{0}^{2}}{2} \langle (a-a^\dagger)^2 \rangle=
		+	-\frac{p_{0}^{2}}{2}\langle a^2 - \underbrace{aa^\dagger-a^\dagger a}+a^{\dagger 2} \rangle=
		+	-\frac{p_{0}^{2}}{2}\langle z^2 - 2z^z+{2} \rangle
		+	-\frac{p_{0}^{2}}{2} (z-z*)^2-1 =\frac{p_{0}^{2}}{2})(4Im(z)^2+1)</math>
		+
		+	Nedoločenost gibalne količine je:
		+	<math>\delta p= \sqrt{\langle p^2\rangle -\langle p\rangle^2}=\frac{p_{0}}{\sqrt{2}}</math>

193.95.248.110 ob 18:50, 29 marec 2007

193.95.248.110 — Thu, 29 Mar 2007 18:50:04 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 18:50, 29 marec 2007
Vrstica 15:		Vrstica 15:
	Povprečna vrednost lege:		Povprečna vrednost lege:

-	<math>\langle x\rangle=</math>	+	<math>\langle x\rangle=\frac{x_{0}}{\sqrt{2}}\langle a+a^\dagger\rangle=\frac{x_{0}}{\sqrt{2}}2 Re \langle a\rangle=\sqrt{2}x_{0}Re(z) </math>,
		+
		+	zadnji korak pojasni zveza:
		+
		+	<math> \langle a \rangle= \langle z \|a\|z\rangle=\langle z\|zz \rangle=z\langle z\|z \rangle=z</math>.
		+
		+	Povprečna vrednost kvadrata lege:
		+
		+	<math>\langle x^2\rangle = \frac{x_{0}^2}{2}\langle (a+a^\dagger)^2\rangle=
		+	\frac{x_{0}^2}{2}\langle a^2+aa^\dagger+a^\dagger a + a^{\dagger 2}\rangle</math>

193.95.248.110 ob 17:59, 29 marec 2007

193.95.248.110 — Thu, 29 Mar 2007 17:59:31 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 17:59, 29 marec 2007
Vrstica 4:		Vrstica 4:

	== Rešitev ==		== Rešitev ==
		+
		+	====Nedoločenost koordinate====
		+
		+	Lego opišemo z
		+
		+	<math>x=\frac{x_{0}}{\sqrt{2}}(a+a^\dagger)</math>, kjer je
		+
		+	<math>x_{0}=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}</math>.
		+
		+	Povprečna vrednost lege:
		+
		+	<math>\langle x\rangle=</math>

WikiSysop ob 11:23, 26 marec 2007

WikiSysop — Mon, 26 Mar 2007 11:23:38 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 11:23, 26 marec 2007
Vrstica 1:		Vrstica 1:
	== Naloga ==		== Naloga ==
		+
		+	Za delec v koherentnem stanju <math>a\left\|z\right\rangle=z\left\|z\right\rangle</math> harmonskega oscilatorja <math>H=\hbar\omega\left(a^\dagger a+\frac{1}{2}\right)</math> izračunaj nedoločenosti položaja, gibalne količine in energije.

	== Rešitev ==		== Rešitev ==

WikiSysop: New page: == Naloga == == Rešitev ==

WikiSysop — Mon, 26 Mar 2007 11:18:06 GMT

New page: == Naloga == == Rešitev ==

Nova stran

== Naloga ==

== Rešitev ==