Kvazivezana stanja končne potencialne jame - Zgodovina strani

Marko ob 18:14, 7 maj 2007

2007-05-07T18:14:02Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 18:14, 7 maj 2007
Vrstica 14:		Vrstica 14:
	in v bližini resonanc:		in v bližini resonanc:

-	<math>T=\|t\|^2=\bigg\|\frac{(-1)^ne^{-ik_3a}}{E-E_n+i\frac{\Gamma_n}{2}}\bigg\|^2</math>	+	<math>T=\|t\|^2=\bigg\|\frac{(-1)^ni\frac{\Gamma_n}{2}e^{-ik_3a}}{E-E_n+i\frac{\Gamma_n}{2}}\bigg\|^2</math>

	----		----
Vrstica 88:		Vrstica 88:
	[[Slika:poli.png]]		[[Slika:poli.png]]

-	Slika prikazuje pole amplitude prepustnosti za delec v končni potencialni jami v odvisnosti od kompleksne energije.	+	Slika prikazuje pole amplitude prepustnosti za delec v končni potencialni jami v odvisnosti od kompleksne energije. <math>x_0^2=255.5</math> Kvazivezana stanja ustrezajo <math>n=1,\cdots,10</math>.

Marko ob 01:14, 25 april 2007

2007-04-25T01:14:42Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 01:14, 25 april 2007
Vrstica 85:		Vrstica 85:

	<math>\Gamma_n \tau_n=\hbar</math>		<math>\Gamma_n \tau_n=\hbar</math>
		+
		+	[[Slika:poli.png]]
		+
		+	Slika prikazuje pole amplitude prepustnosti za delec v končni potencialni jami v odvisnosti od kompleksne energije.

193.2.115.237 ob 23:13, 14 marec 2007

2007-03-14T23:13:37Z

193.2.115.237 ob 07:40, 5 marec 2007

2007-03-05T07:40:29Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 07:40, 5 marec 2007
Vrstica 10:		Vrstica 10:
	Pri eni izmed prejšnjih vaj smo prišli do izraza za prepustnost končne potencialne jame:		Pri eni izmed prejšnjih vaj smo prišli do izraza za prepustnost končne potencialne jame:

-	<math>T=\|t\|^2=\bigg(\frac{e^{-ik_3a}}{cosk_2a-\frac{i}{2}(\frac{k_2}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})sink_2a}\bigg)^2</math>	+	<math>T=\|t\|^2=\bigg\|\frac{e^{-ik_3a}}{cosk_2a-\frac{i}{2}(\frac{k_2}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})sink_2a}\bigg\|^2</math>

	in v bližini resonanc:		in v bližini resonanc:

-	<math>T=\|t\|^2=\bigg(\frac{(-1)^ne^{-ik_3a}}{E-E_n+i\frac{\Gamma}{2}}\bigg)^2</math>	+	<math>T=\|t\|^2=\bigg\|\frac{(-1)^ne^{-ik_3a}}{E-E_n+i\frac{\Gamma}{2}}\bigg\|^2</math>

	----		----
Vrstica 76:		Vrstica 76:

	----		----
-	Iščemo, kako sta povezana razpadni čas kvazivezanega stanja in širina ustrezne resonance. Naredimo časovni razvoj:	+	Iščemo, kako sta povezana razpadni čas kvazivezanega stanja in širina ustrezne resonance. Naredimo časovni razvoj valovne funkcije:

	<math>\psi(x,t)=\psi(x,0)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}=\psi(x,0)e^{-i\frac{E}{\hbar}t}e^{-\frac{\Gamma_n}{2\hbar}t}</math>		<math>\psi(x,t)=\psi(x,0)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}=\psi(x,0)e^{-i\frac{E}{\hbar}t}e^{-\frac{\Gamma_n}{2\hbar}t}</math>

193.2.115.237 ob 00:35, 5 marec 2007

2007-03-05T00:35:25Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 00:35, 5 marec 2007
Vrstica 1:		Vrstica 1:
		+	== Naloga ==
		+
	Za delec v končni potencialni jami širine <math>a</math> in globine <math>V_0</math> pokaži:		Za delec v končni potencialni jami širine <math>a</math> in globine <math>V_0</math> pokaži:
	# da ima amplituda za prepustnost pol pri energiji vsakega od vezanih stanj		# da ima amplituda za prepustnost pol pri energiji vsakega od vezanih stanj
-	# da ima amplituda za prepustnost pole tudi pri energijah <math>E_n+i\frac{\Gamma_n}{2}</math>, kjer so <math>E_n</math> in <math>\Gamma_n</math> energije in širine resonanc v prepustnosti (predpostavi, da velja <math>\frac{2mV_0a^2}{\hbar^2}\gg1</math>)	+	# da ima amplituda za prepustnost pole tudi pri energijah <math>E_n-i\frac{\Gamma_n}{2}</math>, kjer so <math>E_n</math> in <math>\Gamma_n</math> energije in širine resonanc v prepustnosti (predpostavi, da velja <math>\frac{2mV_0a^2}{\hbar^2}\gg1</math>)
	Kako sta povezana razpadni čas kvazivezanega stanja in širina ustrezne resonance?		Kako sta povezana razpadni čas kvazivezanega stanja in širina ustrezne resonance?
		+
		+	== Rešitev ==
		+
		+	Pri eni izmed prejšnjih vaj smo prišli do izraza za prepustnost končne potencialne jame:
		+
		+	<math>T=\|t\|^2=\bigg(\frac{e^{-ik_3a}}{cosk_2a-\frac{i}{2}(\frac{k_2}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})sink_2a}\bigg)^2</math>
		+
		+	in v bližini resonanc:
		+
		+	<math>T=\|t\|^2=\bigg(\frac{(-1)^ne^{-ik_3a}}{E-E_n+i\frac{\Gamma}{2}}\bigg)^2</math>
		+
		+	----
		+
		+	Zanima nas, kje imata ti amplitudi prepustnosti pole. Iz prvega izraza sledi, da mora v polih veljati:
		+
		+	<math>cosk_2a-\frac{i}{2}\bigg(\frac{k_2}{k_3}-\frac{k_3}{k_2}\bigg)sink_2a=0</math>
		+
		+	Izraza za sinus in kosinus preoblikujemo z relacijami za polovične kote: <math>cosx=cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}</math> in <math>sinx=2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}</math>
		+
		+	<math>cos^2\frac{k_2a}{2}-sin^2\frac{k_2a}{2}=\frac{i}{2}(\frac{k_2}{k_3}-\frac{k_3}{k_2})2sin\frac{k_2a}{2}cos\frac{k_2a}{2}</math>
		+
		+	<math>\bigg(cos\frac{k_2a}{2}-i\frac{k_2}{k_3}sin\frac{k_2a}{2}\bigg)\bigg(cos\frac{k_2a}{2}-i\frac{k_3}{k_2}sin\frac{k_2a}{2}\bigg)=0</math>
		+
		+	Sedaj je pogoj za pol:
		+
		+	<math>tg\frac{k_2a}{2}=-i\frac{k_3}{k_2} \qquad -ctg\frac{k_2a}{2}=-i\frac{k_3}{k_2}</math>
		+
		+	Opazimo, da sta enačbi zelo podobni pogoju za energije vezanih stanj končne potencialne jame.
		+
		+	Uvedemo novo spremenljivko:
		+
		+	<math>k_3=\sqrt{\frac{2m\|E\|}{\hbar^2}}i=i\mathcal{K}_3</math> (ker E<0 pri vezanih stanjih)
		+
		+	In pridemo do:
		+
		+	<math>tg\frac{k_2a}{2}=\frac{\mathcal{K}_3}{k_2} \qquad -ctg\frac{k_2a}{2}=\frac{\mathcal{K}_3}{k_2}</math>
		+
		+	Ti dve enačbi pa imata točno tako obliko kot enačbe za vezana stanja v končni potencialni jami.
		+
		+	----
		+
		+	To, da ima prepustnost pole tudi pri energijah <math>E_n-i\frac{\Gamma_n}{2}</math>, sledi direktno iz druge enačbe, saj je takrat imenovalec enak nič.
		+
		+	Lahko pa do istega rezultata pridemo tudi na drug, daljši način.
		+
		+	Iščemo torej pri katerih drugih energijah bi lahko prepustnost imela še pole. Poskusimo z: <math>k_2a=n\pi</math>
		+
		+	Vstavimo v enačbi za pole.
		+
		+	<math> tg\big(n\frac{\pi}{2}\big)=-\frac{ik_3a}{n\pi}</math> To bo res, kadar je n sod in veliko število.
		+
		+	<math> -ctg\big(n\frac{\pi}{2}\big)=-i\frac{ik_3a}{n\pi}</math> To bo res, kadar je n lih in veliko število.
		+
		+	Nastavek: <math>x=k_2a=n\pi+\epsilon</math>
		+
		+	Razvijemo tangens in upoštevamo oznake, ki smo jih vpeljali pri računanju vezanih stanj končne potencialne jame
		+	<math>k_2=\sqrt{\frac{2m(E+V_0)}{\hbar^2}} \qquad x_0=\sqrt{\frac{2mV_0a^2}{\hbar^2}} \qquad x^2-x_0^2=(k_3a)^2</math>
		+
		+	<math>tg\frac{x}{2}\thickapprox \frac{\epsilon}{2}=-\frac{ik_3a}{n\pi}=-\frac{i}{n\pi}\sqrt{x^2-x_0^2}=-\frac{i}{n\pi}\sqrt{n^2\pi^2-x_0^2}</math>
		+
		+	<math>\epsilon=-\frac{2i}{n\pi}\sqrt{\frac{\hbar^2}{2ma^2}\frac{2ma^2}{\hbar^2}(n^2\pi^2-x_0^2)}=-\frac{2i}{n\pi}\sqrt{\frac{2ma^2}{\hbar^2}E_n}</math>
		+
		+	To vstavimo v:
		+
		+	<math>E=\frac{k_2^2\hbar^2}{2m}-V_0</math>
		+
		+	<math>E=\frac{\hbar^2x^2}{2ma^2}-V_0=\frac{\hbar^2}{2ma^2}(n\pi+\epsilon)^2-V_0\thickapprox \frac{\hbar^2}{2ma^2}(1+\frac{2\epsilon}{n\pi})(n\pi)^2-V_0=E_n+\frac{\hbar^2}{2ma^2}2\epsilon n\pi=E_n+\frac{\hbar^2}{2ma^2}(-4i\sqrt{\frac{2ma^2}{\hbar^2}E_n})=E_n-\frac{4i\hbar\sqrt{E_n}}{\sqrt{2ma^2}}</math>
		+
		+	<math>E=E_n-\frac{i\Gamma_m}{2}</math>
		+
		+	----
		+	Iščemo, kako sta povezana razpadni čas kvazivezanega stanja in širina ustrezne resonance. Naredimo časovni razvoj:
		+
		+	<math>\psi(x,t)=\psi(x,0)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}=\psi(x,0)e^{-i\frac{E}{\hbar}t}e^{-\frac{\Gamma_n}{2\hbar}t}</math>
		+
		+	<math>\rho(x,t)=\|\psi(x,t)\|^2=\|\psi(x,0)\|^2e^{\frac{-\Gamma_n}{\hbar}t}=\rho(x,0)e^{-\frac{t}{\tau}}</math>
		+
		+	<math>\tau_n=\frac{\hbar}{\Gamma_n}</math>
		+
		+	<math>\Gamma_n \tau_n=\hbar</math>
		+
		+	<math>\tau</math> - širina resonance

WikiSysop: New page: Za delec v končni potencialni jami širine $a$ in globine $V_0$ pokaži: # da ima amplituda za prepustnost pol pri energiji vsakega od vezanih stanj # da ima amplitu...

2007-02-26T12:19:30Z

New page: Za delec v končni potencialni jami širine <math>a</math> in globine <math>V_0</math> pokaži: # da ima amplituda za prepustnost pol pri energiji vsakega od vezanih stanj # da ima amplitu...

Nova stran

Za delec v končni potencialni jami širine <math>a</math> in globine <math>V_0</math> pokaži:
# da ima amplituda za prepustnost pol pri energiji vsakega od vezanih stanj
# da ima amplituda za prepustnost pole tudi pri energijah <math>E_n+i\frac{\Gamma_n}{2}</math>, kjer so <math>E_n</math> in <math>\Gamma_n</math> energije in širine resonanc v prepustnosti (predpostavi, da velja <math>\frac{2mV_0a^2}{\hbar^2}\gg1</math>)
Kako sta povezana razpadni čas kvazivezanega stanja in širina ustrezne resonance?

← Starejša redakcija		Redakcija: 23:13, 14 marec 2007
Vrstica 10:		Vrstica 10:
	Pri eni izmed prejšnjih vaj smo prišli do izraza za prepustnost končne potencialne jame:		Pri eni izmed prejšnjih vaj smo prišli do izraza za prepustnost končne potencialne jame:

-	<math>T=\|t\|^2=\bigg\|\frac{e^{-ik_3a}}{cosk_2a-\frac{i}{2}(\frac{k_2}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})sink_2a}\bigg\|^2</math>	+	<math>T=\|t\|^2=\bigg\|\frac{e^{-ik_3a}}{cosk_2a-\frac{i}{2}(\frac{k_2}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})sink_2a}\bigg\|^2,\; k_2=\sqrt{\frac{2m(E+V_0)}{\hbar^2}},\; k_3=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}</math>

	in v bližini resonanc:		in v bližini resonanc:

-	<math>T=\|t\|^2=\bigg\|\frac{(-1)^ne^{-ik_3a}}{E-E_n+i\frac{\Gamma}{2}}\bigg\|^2</math>	+	<math>T=\|t\|^2=\bigg\|\frac{(-1)^ne^{-ik_3a}}{E-E_n+i\frac{\Gamma_n}{2}}\bigg\|^2</math>

	----		----
Vrstica 20:		Vrstica 20:
	Zanima nas, kje imata ti amplitudi prepustnosti pole. Iz prvega izraza sledi, da mora v polih veljati:		Zanima nas, kje imata ti amplitudi prepustnosti pole. Iz prvega izraza sledi, da mora v polih veljati:

-	<math>cosk_2a-\frac{i}{2}\bigg(\frac{k_2}{k_3}-\frac{k_3}{k_2}\bigg)sink_2a=0</math>	+	<math>cosk_2a-\frac{i}{2}\bigg(\frac{k_2}{k_3}+\frac{k_3}{k_2}\bigg)sink_2a=0</math>

	Izraza za sinus in kosinus preoblikujemo z relacijami za polovične kote: <math>cosx=cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}</math> in <math>sinx=2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}</math>		Izraza za sinus in kosinus preoblikujemo z relacijami za polovične kote: <math>cosx=cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}</math> in <math>sinx=2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}</math>

-	<math>cos^2\frac{k_2a}{2}-sin^2\frac{k_2a}{2}=\frac{i}{2}(\frac{k_2}{k_3}-\frac{k_3}{k_2})2sin\frac{k_2a}{2}cos\frac{k_2a}{2}</math>	+	<math>cos^2\frac{k_2a}{2}-sin^2\frac{k_2a}{2}=\frac{i}{2}(\frac{k_2}{k_3}+\frac{k_3}{k_2})2sin\frac{k_2a}{2}cos\frac{k_2a}{2}</math>

	<math>\bigg(cos\frac{k_2a}{2}-i\frac{k_2}{k_3}sin\frac{k_2a}{2}\bigg)\bigg(cos\frac{k_2a}{2}-i\frac{k_3}{k_2}sin\frac{k_2a}{2}\bigg)=0</math>		<math>\bigg(cos\frac{k_2a}{2}-i\frac{k_2}{k_3}sin\frac{k_2a}{2}\bigg)\bigg(cos\frac{k_2a}{2}-i\frac{k_3}{k_2}sin\frac{k_2a}{2}\bigg)=0</math>
Vrstica 54:		Vrstica 54:
	Vstavimo v enačbi za pole.		Vstavimo v enačbi za pole.

-	<math> tg\big(n\frac{\pi}{2}\big)=-\frac{ik_3a}{n\pi}</math> To bo res, kadar je n sod in veliko število.	+	<math> tg\big(n\frac{\pi}{2}\big)=-\frac{ik_3a}{n\pi}</math> Leva stran enačbe je enaka 0, kadar je n sod; desna stran pa gre proti 0, ko je n veliko število. Takrat bo torej veljala ekvivalenca.

-	<math> -ctg\big(n\frac{\pi}{2}\big)=-i\frac{ik_3a}{n\pi}</math> To bo res, kadar je n lih in veliko število.	+	<math> -ctg\big(n\frac{\pi}{2}\big)=-i\frac{ik_3a}{n\pi}</math> Obe strani enačbe greta proti 0, kadar je n lih in veliko število.

	Nastavek: <math>x=k_2a=n\pi+\epsilon</math>		Nastavek: <math>x=k_2a=n\pi+\epsilon</math>
Vrstica 73:		Vrstica 73:
	<math>E=\frac{\hbar^2x^2}{2ma^2}-V_0=\frac{\hbar^2}{2ma^2}(n\pi+\epsilon)^2-V_0\thickapprox \frac{\hbar^2}{2ma^2}(1+\frac{2\epsilon}{n\pi})(n\pi)^2-V_0=E_n+\frac{\hbar^2}{2ma^2}2\epsilon n\pi=E_n+\frac{\hbar^2}{2ma^2}(-4i\sqrt{\frac{2ma^2}{\hbar^2}E_n})=E_n-\frac{4i\hbar\sqrt{E_n}}{\sqrt{2ma^2}}</math>		<math>E=\frac{\hbar^2x^2}{2ma^2}-V_0=\frac{\hbar^2}{2ma^2}(n\pi+\epsilon)^2-V_0\thickapprox \frac{\hbar^2}{2ma^2}(1+\frac{2\epsilon}{n\pi})(n\pi)^2-V_0=E_n+\frac{\hbar^2}{2ma^2}2\epsilon n\pi=E_n+\frac{\hbar^2}{2ma^2}(-4i\sqrt{\frac{2ma^2}{\hbar^2}E_n})=E_n-\frac{4i\hbar\sqrt{E_n}}{\sqrt{2ma^2}}</math>

-	<math>E=E_n-\frac{i\Gamma_m}{2}</math>	+	<math>E=E_n-\frac{i\Gamma_n}{2}</math>

	----		----
Vrstica 80:		Vrstica 80:
	<math>\psi(x,t)=\psi(x,0)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}=\psi(x,0)e^{-i\frac{E}{\hbar}t}e^{-\frac{\Gamma_n}{2\hbar}t}</math>		<math>\psi(x,t)=\psi(x,0)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}=\psi(x,0)e^{-i\frac{E}{\hbar}t}e^{-\frac{\Gamma_n}{2\hbar}t}</math>

-	<math>\rho(x,t)=\|\psi(x,t)\|^2=\|\psi(x,0)\|^2e^{\frac{-\Gamma_n}{\hbar}t}=\rho(x,0)e^{-\frac{t}{\tau}}</math>	+	<math>\rho(x,t)=\|\psi(x,t)\|^2=\|\psi(x,0)\|^2e^{\frac{-\Gamma_n}{\hbar}t}=\rho(x,0)e^{-\frac{t}{\tau_n}}</math>

	<math>\tau_n=\frac{\hbar}{\Gamma_n}</math>		<math>\tau_n=\frac{\hbar}{\Gamma_n}</math>

	<math>\Gamma_n \tau_n=\hbar</math>		<math>\Gamma_n \tau_n=\hbar</math>
-
-	<math>\tau</math> - širina resonance