Harmonski oscilator I - Zgodovina strani

WikiSysop: - prestavitev Harmonski oscilator na Harmonski oscilator I

2007-07-16T16:21:50Z

- prestavitev Harmonski oscilator na Harmonski oscilator I

← Starejša redakcija

Redakcija: 16:21, 16 julij 2007

194.249.56.211: manjsi popravki

2007-04-02T12:07:32Z

manjsi popravki

← Starejša redakcija		Redakcija: 12:07, 2 april 2007
Vrstica 61:		Vrstica 61:
	</li>		</li>
	<li>		<li>
-	V drugem primeru bomo računali pričakovano vrednost ustreznega operatorja tako, da ga bomo najprej razvili v času in nato nanj delovali z stacionarno valovno funkcijo. Za splošen operator torej računamo takole:	+	V drugem primeru bomo računali pričakovano vrednost ustreznega operatorja tako, da ga bomo najprej razvili v času in nato nanj delovali s stacionarno valovno funkcijo. Za splošen operator torej računamo takole:

	<p><math>\langle A \rangle = \langle \psi \| A \left( t \right) \| \psi \rangle</math></p>		<p><math>\langle A \rangle = \langle \psi \| A \left( t \right) \| \psi \rangle</math></p>
Vrstica 87:		Vrstica 87:
	<math>\begin{array}{lcl}		<math>\begin{array}{lcl}
	\langle x \rangle &=&\langle \psi \| \hat{x} \| \psi \rangle = \langle \psi \| \frac{x_{0}}{\sqrt{2}}\left( a + a^{\dagger} \right) \| \psi \rangle = \frac{x_{0}}{\sqrt{2}} \left( \langle a \rangle + \langle a \rangle^{\ast} \right) = \frac{x_{0}}{\sqrt{2}}2\textrm{Re}\langle a \rangle = \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re} \langle \psi \| a \| \psi \rangle = \\		\langle x \rangle &=&\langle \psi \| \hat{x} \| \psi \rangle = \langle \psi \| \frac{x_{0}}{\sqrt{2}}\left( a + a^{\dagger} \right) \| \psi \rangle = \frac{x_{0}}{\sqrt{2}} \left( \langle a \rangle + \langle a \rangle^{\ast} \right) = \frac{x_{0}}{\sqrt{2}}2\textrm{Re}\langle a \rangle = \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re} \langle \psi \| a \| \psi \rangle = \\
-	&=& \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re}\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \langle 0\| e^{i\frac{\omega}{2}t} + \langle 1\| e^{i\frac{3\omega}{2}t} \right] a \left[ \|0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \|1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right] \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re}\left( \frac{1}{2} \langle 0\| e^{i\frac{\omega}{2}t} \sqrt{1} \|0\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) = \\	+	&=& \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re}\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \langle 0\| e^{i\frac{\omega}{2}t} + \langle 1\| e^{i\frac{3\omega}{2}t} \right] a \left[ \|0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \|1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right] \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \\
		+	& = & \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re}\left( \frac{1}{2} \langle 0\| e^{i\frac{\omega}{2}t} \sqrt{1} \|0\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) = \\
	&=& \frac{1}{\sqrt{2}} x_{0} \cos\left( \omega t \right)		&=& \frac{1}{\sqrt{2}} x_{0} \cos\left( \omega t \right)
	\end{array}</math>		\end{array}</math>

193.2.191.7 ob 22:17, 29 marec 2007

2007-03-29T22:17:33Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 22:17, 29 marec 2007
Vrstica 80:		Vrstica 80:
	<math>\|\psi,t\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \|0\rangle e^{-i\frac{E_{0}}{\hbar}t} + \|1\rangle e^{-i\frac{E_{1}}{\hbar}t} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \|0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \|1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) .</math>		<math>\|\psi,t\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \|0\rangle e^{-i\frac{E_{0}}{\hbar}t} + \|1\rangle e^{-i\frac{E_{1}}{\hbar}t} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \|0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \|1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) .</math>

-	Uporabimo sedaj časovni razvoj valovne funkcije za izračun <math>\langle a \rangle</math> in <math>\langle a^{2} \rangle</math>. Pri tem bomo za <math>\|\psi,t\rangle</math> pisali kar <math>\|\psi\rangle</math>.	+	Uporabimo sedaj časovni razvoj valovne funkcije za izračun <math>\langle x \rangle</math> in <math>\langle x^{2} \rangle</math>. Pri tem bomo za <math>\|\psi,t\rangle</math> pisali kar <math>\|\psi\rangle</math>.

193.2.191.7 ob 22:58, 27 marec 2007

2007-03-27T22:58:24Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 22:58, 27 marec 2007
Vrstica 103:		Vrstica 103:
	\end{array}</math>		\end{array}</math>

-	# VRSTICA: Najprej namesto kvadrata operatorja kraja, operator zapišemo z uporabo kreacijskega in anihilacijskega operatorja, nato izraz razpišemo.	+	<ol>
-	# VRSTICA:	+	<li>
-	##Tu skalarni produkt najprej razbijemo na dva dela:	+	VRSTICA: Najprej namesto kvadrata operatorja kraja, operator zapišemo z uporabo kreacijskega in anihilacijskega operatorja, nato izraz razpišemo.
-	### Velja: <math>\langle \psi \| aa + a^{\dagger}a^{\dagger} \| \psi \rangle = 2 \textrm{Re} \langle \psi \| a^{2} \| \psi \rangle</math>, saj velja <math>\langle \psi \| a^{\dagger}a^{\dagger} \| \psi \rangle = \langle \psi \| \left( aa \right)^{\dagger} \| \psi \rangle = \langle \psi \| aa \| \psi \rangle^{\ast}</math> in se zato imaginarni deli odštejejo.	+	</li>
-	###Velja: <math>\langle \psi \| aa^{\dagger} + a^{\dagger}a \| \psi \rangle = \langle \psi \| 1+2a^{\dagger}a \| \psi \rangle</math>, kjer smo uporabili: <math>\left[ a,a^{\dagger} \right] = 1 = aa^{\dagger}-a^{\dagger}a \quad \Rightarrow \quad aa^{\dagger}+a^{\dagger}a = 1+2a^{\dagger}a</math>	+	<li>
-	##Nato upoštevamo, da velja:	+	VRSTICA:
-	###<math>2 \textrm{Re} \langle \psi \| a^{2} \| \psi \rangle = 0</math> , ker velja <math>a^{2}\|\psi\rangle = 0</math> , saj z anihilacijskim operatorjem dvakrat delujemo na valovno funkcijo oblike <math>\|\psi \rangle = \cdots \|0 \rangle + \cdots \|1 \rangle</math>	+	<ol style="list-style-type:upper-roman">
-	###<math>\langle \psi \| 1+2a^{\dagger}a \| \psi \rangle = \langle \psi \| 1\| \psi \rangle+ \langle \psi \|2a^{\dagger}a \| \psi \rangle</math>, kjer velja: <math>\langle \psi \| 1\| \psi \rangle=1</math>, saj je valovna funkcija <math>\psi</math> normirana. V drugem delu velja: <math>a^{\dagger}a\| \psi \rangle = 0 + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-i\frac{3\omega}{2}t}\sqrt{1}\sqrt{1}\|1\rangle</math>, tako, da dobimo <math>\langle \psi \|2a^{\dagger}a \| \psi \rangle = \frac{2}{\sqrt{2}} \left[ \langle 0\| e^{i\frac{\omega}{2}t} + \langle 1\| e^{i\frac{3\omega}{2}t} \right] \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ e^{-i\frac{3\omega}{2}t}\|1\rangle \right] =\frac{2}{\sqrt{2}} \langle \psi \| 1 \rangle = 1</math>, kjer upoštevamo še <math>\langle i \| j \rangle = \delta_{ij}</math>	+	<li>
		+	Tu skalarni produkt najprej razbijemo na dva dela:
		+	<ol style="list-style-type:disc">
		+	<li>
		+	Velja: <math>\langle \psi \| aa + a^{\dagger}a^{\dagger} \| \psi \rangle = 2 \textrm{Re} \langle \psi \| a^{2} \| \psi \rangle</math>, saj velja <math>\langle \psi \| a^{\dagger}a^{\dagger} \| \psi \rangle = \langle \psi \| \left( aa \right)^{\dagger} \| \psi \rangle = \langle \psi \| aa \| \psi \rangle^{\ast}</math> in se zato imaginarni deli odštejejo.
		+	</li>
		+	<li>
		+	Velja: <math>\langle \psi \| aa^{\dagger} + a^{\dagger}a \| \psi \rangle = \langle \psi \| 1+2a^{\dagger}a \| \psi \rangle</math>, kjer smo uporabili: <math>\left[ a,a^{\dagger} \right] = 1 = aa^{\dagger}-a^{\dagger}a \quad \Rightarrow \quad aa^{\dagger}+a^{\dagger}a = 1+2a^{\dagger}a</math>
		+	</li>
		+	</ol>
		+	</li>
		+	<li>
		+	Nato upoštevamo, da velja:
		+	<ol style="list-style-type:disc">
		+	<li>
		+	<math>2 \textrm{Re} \langle \psi \| a^{2} \| \psi \rangle = 0</math> , ker velja <math>a^{2}\|\psi\rangle = 0</math> , saj z anihilacijskim operatorjem dvakrat delujemo na valovno funkcijo oblike <math>\|\psi \rangle = \cdots \|0 \rangle + \cdots \|1 \rangle</math>
		+	</li>
		+	<li>
		+	<math>\langle \psi \| 1+2a^{\dagger}a \| \psi \rangle = \langle \psi \| 1\| \psi \rangle+ \langle \psi \|2a^{\dagger}a \| \psi \rangle</math>, kjer velja: <math>\langle \psi \| 1\| \psi \rangle=1</math>, saj je valovna funkcija <math>\psi</math> normirana. V drugem delu velja: <math>a^{\dagger}a\| \psi \rangle = 0 + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-i\frac{3\omega}{2}t}\sqrt{1}\sqrt{1}\|1\rangle</math>, tako, da dobimo <math>\langle \psi \|2a^{\dagger}a \| \psi \rangle = \frac{2}{\sqrt{2}} \left[ \langle 0\| e^{i\frac{\omega}{2}t} + \langle 1\| e^{i\frac{3\omega}{2}t} \right] \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ e^{-i\frac{3\omega}{2}t}\|1\rangle \right] =\frac{2}{\sqrt{2}} \langle \psi \| 1 \rangle = 1</math>, kjer upoštevamo še <math>\langle i \| j \rangle = \delta_{ij}</math>
		+	</li>
		+	</ol>
		+	</li>
		+	</li>
		+	</ol>

193.2.191.7 ob 22:27, 27 marec 2007

2007-03-27T22:27:56Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 22:27, 27 marec 2007
Vrstica 124:		Vrstica 124:

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
-	\|\psi , t \rangle &= e^{-i\frac{\hat{H}}{\hbar}t} \sum c_{n} \|n\rangle = \sum c_{n} e^{-i\frac{\hat{H}}{\hbar}t} \|n\rangle = \sum_{n} c_{n} \sum_{m} \frac{\left( -i\frac{t}{\hbar} \right)^{m}}{m!}\hat{H}^{m}\|n\rangle = \sum_{n} c_{n} \sum_{m} \frac{\left( -i\frac{t}{\hbar} \right)^{m}}{m!}E_{n}^{m}\|n\rangle = \sum c_{n} e^{-i\frac{E_{n}}{\hbar}t} \|n\rangle = \\	+	\|\psi , t \rangle &= e^{-i\frac{\hat{H}}{\hbar}t} \sum c_{n} \|n\rangle = \sum c_{n} e^{-i\frac{\hat{H}}{\hbar}t} \|n\rangle = \sum_{n} c_{n} \sum_{m} \frac{\left( -i\frac{t}{\hbar} \right)^{m}}{m!}\hat{H}^{m}\|n\rangle = \sum_{n} c_{n} \sum_{m} \frac{\left( -i\frac{t}{\hbar} \right)^{m}}{m!}E_{n}^{m}\|n\rangle = \\
-	&= e^{-i\frac{E_{n}}{\hbar}t} \|\psi , 0 \rangle	+	&= \sum c_{n} e^{-i\frac{E_{n}}{\hbar}t} \|n\rangle
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

193.2.86.3 ob 11:21, 27 marec 2007

2007-03-27T11:21:23Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 11:21, 27 marec 2007
Vrstica 47:		Vrstica 47:
	Operatorja kraja <math>\hat{x}</math> in gibalne količine <math>\hat{p}</math>, sta sebi adjungirana oz. hermitska, na novo pa ju z anihilacijskim in kreacijskim operatorjem zapišemo v obliki:		Operatorja kraja <math>\hat{x}</math> in gibalne količine <math>\hat{p}</math>, sta sebi adjungirana oz. hermitska, na novo pa ju z anihilacijskim in kreacijskim operatorjem zapišemo v obliki:

-	<math>\hat{x} = \frac{x_{0}}{\sqrt{2}}\left( a + a^{\dagger} \right)</math>       in       <math>\hat{p} = \frac{p_{0}}{\sqrt{2}}\left( a - a^{\dagger} \right).</math>	+	<math>\hat{x} = \frac{x_{0}}{\sqrt{2}}\left( a + a^{\dagger} \right)</math>       in       <math>\hat{p} = \frac{p_{0}}{i \sqrt{2}}\left( a - a^{\dagger} \right).</math>

193.2.191.7 ob 23:54, 26 marec 2007

2007-03-26T23:54:06Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 23:54, 26 marec 2007
Vrstica 50:		Vrstica 50:


-	===Časovna odvisnost pričakovane vrednosti <i>x</i> in njegovega kvadrata===	+	====Reševanje====

	Nalogo bomo reševali na dva načina, in sicer:		Nalogo bomo reševali na dva načina, in sicer:
Vrstica 67:		Vrstica 67:
	</ul>		</ul>

		+
		+	===Časovna odvisnost pričakovane vrednosti <i>x</i> in njegovega kvadrata===

	====Časovni razvoj valovne funkcije====		====Časovni razvoj valovne funkcije====

193.2.191.7 ob 23:46, 26 marec 2007

2007-03-26T23:46:53Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 23:46, 26 marec 2007
Vrstica 51:		Vrstica 51:

	===Časovna odvisnost pričakovane vrednosti <i>x</i> in njegovega kvadrata===		===Časovna odvisnost pričakovane vrednosti <i>x</i> in njegovega kvadrata===
		+
		+	Nalogo bomo reševali na dva načina, in sicer:
		+
		+	<ul>
		+	<li>
		+	V prvem primeru bomo računali pričakovano vrednost ustreznega operatorja tako, da bomo v času razvili valovno funkcijo in nato z njo delovali na operator. Za splošen operator torej računamo takole:
		+
		+	<p><math>\langle A \rangle = \langle \psi , t \| A \| \psi , t \rangle</math></p>
		+	</li>
		+	<li>
		+	V drugem primeru bomo računali pričakovano vrednost ustreznega operatorja tako, da ga bomo najprej razvili v času in nato nanj delovali z stacionarno valovno funkcijo. Za splošen operator torej računamo takole:
		+
		+	<p><math>\langle A \rangle = \langle \psi \| A \left( t \right) \| \psi \rangle</math></p>
		+	</li>
		+	</ul>


Vrstica 97:		Vrstica 112:

	===Časovna odvisnost anihilacijskega operatorja===		===Časovna odvisnost anihilacijskega operatorja===
-

	====Časovni razvoj in Hamiltonov operator====		====Časovni razvoj in Hamiltonov operator====
Vrstica 198:		Vrstica 212:
	====Časovna odvisnost pričakovane vrednosti kvadrata <i>x</i>====		====Časovna odvisnost pričakovane vrednosti kvadrata <i>x</i>====

-	Izračunajmo s časovnim razvojem anihilatorskega operatorja še pričakovano vrednost kvadrata koordinate . Iz prvega izračuna vemo, da je <math>\langle x^{2} \rangle = \frac{x_{0}^{2}}{2} \left( 2\textrm{Re} \langle \psi \| a^{2} \| \psi \rangle + \langle \psi \| \left( 1+2aa^{\dagger} \right) \| \psi \rangle \right) </math>.	+	Izračunajmo s časovnim razvojem anihilatorskega operatorja še pričakovano vrednost kvadrata koordinate . Iz prvega izračuna vemo, da je <math>\langle x^{2} \rangle = \frac{x_{0}^{2}}{2} \left( 2\textrm{Re} \langle \psi \| \left( a \left( t \right) \right)^{2} \| \psi \rangle + \langle \psi \| \left( 1+2a\left( t \right) a^{\dagger} \left( t \right) \right) \| \psi \rangle \right) </math>.

	Upoštevamo naslenje zveze:		Upoštevamo naslenje zveze:
Vrstica 210:		Vrstica 224:
	</li>		</li>
	<li>		<li>
-	Za adjungirane operatorje velja	+	Za adjungirane operatorje velja: <math>\left( AB \right)^{\dagger} = B^{\dagger} A^{\dagger}</math>. Od tod dobimo iz časovnega razvoja anihilacijskega operatorja kreacijskega: <math>a^{\dagger}\left( t \right) = \left( a e^{-i \omega t} \right)^{\dagger} = e^{i \omega t} a^{\dagger}</math>.
	</li>		</li>
	</ul>		</ul>
		+
		+	V enačbo vstavimo časovni razvoj kreacijskega operatorja, upoštevamo ostali zvezi in zveze, ki smo jih uporabili v prvem primeru ter dobimo:
		+
		+	<math>\langle x^{2} \rangle = \frac{x_{0}^{2}}{2} \left( 0 + 1 + 2 \langle \psi \| \left( a \underbrace{e^{-i \omega t} e^{i \omega t}}_{=1} a^{\dagger} \right) \| \psi \rangle \right) = \frac{x_{0}^{2}}{2} \left( 0 + 1 + \frac{2}{\sqrt{2}} \left[ \langle 0\| + \langle 1\| \right] \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \|1\rangle \right] \right) = \frac{x_{0}^{2}}{2} \left( 0 + 1 + 1 \right) = x_{0}^{2}</math>.

193.2.191.7 ob 23:15, 26 marec 2007

2007-03-26T23:15:37Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 23:15, 26 marec 2007
Vrstica 62:		Vrstica 62:

	<math>\|\psi,t\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \|0\rangle e^{-i\frac{E_{0}}{\hbar}t} + \|1\rangle e^{-i\frac{E_{1}}{\hbar}t} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \|0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \|1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) .</math>		<math>\|\psi,t\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \|0\rangle e^{-i\frac{E_{0}}{\hbar}t} + \|1\rangle e^{-i\frac{E_{1}}{\hbar}t} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \|0\rangle e^{-i\frac{\omega}{2}t} + \|1\rangle e^{-i\frac{3\omega}{2}t} \right) .</math>
		+
		+	Uporabimo sedaj časovni razvoj valovne funkcije za izračun <math>\langle a \rangle</math> in <math>\langle a^{2} \rangle</math>. Pri tem bomo za <math>\|\psi,t\rangle</math> pisali kar <math>\|\psi\rangle</math>.


Vrstica 195:		Vrstica 197:

	====Časovna odvisnost pričakovane vrednosti kvadrata <i>x</i>====		====Časovna odvisnost pričakovane vrednosti kvadrata <i>x</i>====
		+
		+	Izračunajmo s časovnim razvojem anihilatorskega operatorja še pričakovano vrednost kvadrata koordinate . Iz prvega izračuna vemo, da je <math>\langle x^{2} \rangle = \frac{x_{0}^{2}}{2} \left( 2\textrm{Re} \langle \psi \| a^{2} \| \psi \rangle + \langle \psi \| \left( 1+2aa^{\dagger} \right) \| \psi \rangle \right) </math>.
		+
		+	Upoštevamo naslenje zveze:
		+
		+	<ul>
		+	<li>
		+	Ko v enačbo vstavimo <math>\left( a \left( t \right) \right)^{2}</math>, z enakimi argumenti, kot v prvem primeru velja: <math>\langle \psi \| a^{2} \| \psi \rangle = 0</math>.
		+	</li>
		+	<li>
		+	Ker je valovna funkcija <math>\psi</math> normirana, je <math>\langle \psi \| 1\| \psi \rangle = 1 </math>.
		+	</li>
		+	<li>
		+	Za adjungirane operatorje velja
		+	</li>
		+	</ul>

193.2.191.7 ob 22:23, 26 marec 2007

2007-03-26T22:23:56Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 22:23, 26 marec 2007
Vrstica 162:		Vrstica 162:

	Nadaljujmo z izračunom časovne odvisnosti anihilacijskega operatorja:		Nadaljujmo z izračunom časovne odvisnosti anihilacijskega operatorja:
		+
		+	<math>
		+	\dot{a}\left( t \right) = \frac{i}{\hbar} \left[ \hat{H} \left( t \right),a\left( t \right) \right] + \underbrace{\left( \frac{\partial a}{\partial t} \right) \left( t \right)}_{=0} = \frac{i}{\hbar} \left[ \hat{H},a \right] \left( t \right)
		+	</math>
		+
		+	<ul><li>
		+	Velja: <math>\begin{align}
		+	\left[ \hat{H},a \right] &= \left[ \hbar \omega \left( a^{\dagger}a + \frac{1}{2} \right) , a \right] = \hbar \omega \left( \underbrace{\left[ a^{\dagger},a \right]}_{=-1} a + a^{\dagger} \underbrace{\left[ a,a \right]}_{=0} \right) = - \hbar \omega a
		+	\end{align}</math>
		+	</li></ul>
		+
		+	Od tod dobimo diferencialno enačbo za anihilacijski operator, ki je oblike:
		+
		+	<math>\dot{a} \left( t \right) = \frac{i}{\hbar} \hbar \omega e^{i\frac{\hat{H}}{\hbar}t} a e^{-i\frac{\hat{H}}{\hbar}t} = -i \omega a \left( t \right)</math>
		+
		+	Rešitev enačbe je <math>a \left( t \right) = C e^{-i \omega t}</math>, kjer upoštevamo še: <math>a\left( 0 \right) = C = a</math>.
		+
		+	Časovni razvoj anihilacijskega operatorja je torej:
		+
		+	<math>a \left( t \right) = a e^{-i \omega t}</math>.
		+
		+
		+	====Časovna odvisnost pričakovane vrednosti <i>x</i>====
		+
		+	Izračunajmo sedaj pričakovano vrednost koordinate še s časovnim razvojem anihilatorskega operatorja. Iz prvega izračuna vemo, da je <math>\langle x \rangle = \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re} \langle a \rangle</math>.
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	\langle x \rangle &= \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re} \langle a \rangle = \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re} \langle \psi \| a \left( t \right) \| \psi \rangle = \sqrt{2} x_{0} \textrm{Re} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \langle 0 \| + \langle 1 \| \right) a e^{-i \omega t} \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \| 0 \rangle + \| 1 \rangle \right) \right) = \\
		+	&= \frac{1}{\sqrt{2}} x_{0} \textrm{Re} \left( \left( \langle 0 \| + \langle 1 \| \right) e^{-i \omega t} \| 0 \rangle \right) = \frac{x_{0}}{\sqrt{2}} \cos \left( \omega t \right)
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	====Časovna odvisnost pričakovane vrednosti kvadrata <i>x</i>====