Vaje iz Kvantne mehanike I

Verjetnosti v potencialni jami

2.3  .2005

\(Matjaž\ Božič\)

\(V\ neskončni\ potencialni\ jami\ širine\ 0 < 
            x < a\ imamo\ začetno\ \(stanje : 
ϕ \((x, t = 0)\)\)\ \  -> \ C\ Sin[2  π\ x/a]^2\ ; \ 
        x\  < \ a/2\)
                                   \(\(\(->\)\(\ \)\(0\)\)\ ; x > a/2\)
\(Zanima\ nas\ verjetnost, \ 
        da\ se\ delec\ nahaja\ v\ 1. , \ 2. , \ 
        3. , \ \(\(...\)\(\ \)\(vzbujenem\)\(\ \)\(stanju\)\(\ \)\(in\)\(\ \)\(kdaj\)\(\ \)\(je\)\(\ \)\(verjetnost\)\), \ 
        da\ je\ delec\ v\ desni\ polovici\ jame\ x > 
          a/2\ največja . \ Lastne\ funkcije\ so\)
         ψ = (Sqrt[(2/a)]) Sin[π n x/a]

\(Najprej\ normirajmo\ funkcijo\ ϕ . 
C\^2 \(∫\_0\%\(a/2\)Sin[2\ π\ x/a] dx\)\  = \ 1, \ 
    torej\ C\  = \ \(\(4\/\@\(3\ a\)\)\(.\)\)\)

\(Za\ razvoj\ po\ lastnih\ stanjih\ se\ splača\ uvesti\ nove\ brezdimenzijske\ \(spremenljivke : 
u\) = \(\(π\/a\) 
          x\ \ in\ \ τ\  = \ \(\(h\ π\)\/\(4\ m\ a\^2\)\) 
          t\ \(\((za\ časovni\ razvoj)\)\(.\)\)\)\)

Izražene s takimi spremenljivkami imajo lastne funkcije in začetno stanje obliko:

Psi[n_, u_]  :=  (Sqrt[(2/π)]) 
        Sin[n u]
Phi[u_]  :=  (4/(Sqrt[3 π])) Sin[2 u]^2

Jama pa ni več široka a ampak π.
    Sedaj lahko izračunamo koeficiente razvoja po lastnih stanjih:

koef[n_]  :=  
      Integrate[Psi[n, u] Phi[u],  {u, 0, Pi/2},  
        Assumptions -> {n ∈ Integers}]

Table[koef[n], {n, 1, 11}]

Verjetnost, da se delec nahaja v n-tem lastnem stanju, je kar enaka kvadratu n-tega koeficienta.

Table[N[koef[n]^2], {n, 1, 11}]

Vidimo, da so najbolj zasedena prva tri stanja. Stanja z višjo energijo so zastopana v približno petih odstotkih. Zato lahko približno upoštevamo,da je delec sestavljen samo iz prvih treh stanj. Tako si precej olajšamo računanje. Sedaj lahko zapišemo časovni razvoj naše funkcije.

phi3[u_, τ_]  =  
        koef[1] Psi[1, u] Exp[-I τ]  +  
          koef[2] Psi[2, u] Exp[-4 I τ]  +  
          koef[3] Psi[3, u] Exp[-9 I τ];

In, kar nas še bolj zanima, časovno odvisno verjetnostno gostoto:

rho3[x_, 
        t_]  :=  (32/
              Pi)^2 (2/3) ((Psi[1, x]/15)^2  +  (Psi[2, x]/
                  12)^2  +  (Psi[3, x]/21)^2  + 
 
            2 (Psi[1, x] Psi[2, x]/(15*12)) Cos[
                3 t]  +  
 
            2 (Psi[2, x] Psi[3, x]/(12*21)) 
              Cos[5 t]  + 
 
            2 (Psi[1, x] Psi[3, x]/(15*21)) Cos[8 t])

Gibanje delca v jami lahko torej opišemo s tremi različnimi frekvencami(členi s  Cos). Vidimo,da je gibanje periodično; po času  τ = 2π  se delec vrne v začetno stanje. Torej je pričakovati, da bo po času τ = π  verjetnost, da bo delec v desni polovici jame največja. Prva dva člena v verjetnostni gostoti imata ob tem času hkrati minimum. Poleg tega sta prvo in tretje lastno stanje pravokotna že na intervalu od π/2 do π, tako da tretji člen tam odpade. Prva dva pa imata ob času τ = π/5 oziroma τ = π/3 še vsak svoj minimum. Pričakovati je da bo tudi med tema časoma delec večinoma v desni polovici.

Še malo risanja.

Časovni razvoj valovne funkcije (glista, ki leze sem pa tja):

Table[
      Plot[Re[phi3[x, t]],  {x, 0, Pi},  
        PlotRange -> {-1.3, 1.3}],  {t, 0, 1.98 Pi, 
        0.02 Pi}]

Časovni razvoj verjetnostne gostote:

Table[
      Plot[rho3[x, t],  {x, 0, Pi},  PlotRange -> {0, 1.3}],  {t, 0, 
        1.98 Pi, 0.02 Pi}]

Verjetnost, da je delec v desni polovici v odvisnosti od časa:

Plot[NIntegrate[rho3[x, t], {x, Pi/2, Pi}],  {t, 0, 2 Pi}]

In še točne vrednosti za pol periode:

Table[
      NIntegrate[rho3[x, t], {x, Pi/2, Pi}],  {t, 0,  Pi,  
        0.05  Pi}]

\(V\ eni\ periodi\ je\ delec\ ob\ treh\ časih\ večinoma\ na\ desni\ strani\ jame . \ V\ seznamu\ se\ vidi, \ 
    da\ je\ ob\ času\ \ τ\ ~\ Pi/4\ , \ 
    torej\)
\(t\ ~\ \(\(m\ a\^2\)\/h\)\ \ delec\ z\ ~
          80  %\ verjetnostjo\ na\ desni\ strani\ jame . \ 
          Ob\ času\ \ t\  = \ \(4\ m\ a\^2\)\/h\ pa\ je\ zaradi\ simetrije\ ta\ verjetnost\ 100 \( \(%\)\(.\)\)\)

Še malo bolj točni računi. Pri razvoju upoštevamo prvih 6 stanj. Stanj z višjo energijo je samo še 0.3%.

phi6[u_, τ_]  =  
        koef[1] Psi[1, u] Exp[-I τ]  +  
          koef[2] Psi[2, u] Exp[-4 I τ]  +  
          koef[3] Psi[3, u] Exp[-9 I τ]  +  
          koef[5] Psi[5, u] Exp[-25 I τ]  +  
          koef[6] Psi[6, u] Exp[-36 I τ];

rho6[x_, 
        t_]  :=  (32/
              Pi)^2 (2/3) ((Psi[1, x]/15)^2  +  (Psi[2, x]/
                  12)^2  +  (Psi[3, x]/21)^2  +  (Psi[5, x]/
                  45)^2  +  (Psi[6, x]/60)^2 
 + 
            2 (Psi[1, x] Psi[2, x]/(15*12)) Cos[
                3 t] 
 +  
            2 (Psi[2, x] Psi[3, x]/(12*21)) 
              Cos[5 t] 
 +  
            2 (Psi[1, x] Psi[3, x]/(15*21)) 
              Cos[8 t] 
 +  
            2 (Psi[5, x] Psi[6, x]/(45*60)) Cos[
                11 t] 
 -  
            2 (Psi[3, x] Psi[5, x]/(21*45)) 
              Cos[16 t] 
 -  
            2 (Psi[2, x] Psi[5, x]/(12*45)) 
              Cos[21 t] 
 -  
            2 (Psi[1, x] Psi[5, x]/(15*45)) Cos[
                24 t]
 -  
            2 (Psi[3, x] Psi[6, x]/(21*60)) 
              Cos[27 t] 
 -  
            2 (Psi[2, x] Psi[6, x]/(12*60)) 
              Cos[32 t] 
 -  
            2 (Psi[1, x] Psi[6, x]/(15*60)) Cos[35 t])

Valovna funkcija:

Table[
      Plot[Re[phi6[x, t]],  {x, 0, Pi},  
        PlotRange -> {-1.5, 1.5}],  {t, 0, 1.98 Pi, 
        0.02 Pi}]

Časovni razvoj verjetnostne gostote:

Table[
      Plot[rho6[x, t],  {x, 0, Pi},  PlotRange -> {0, 1.75}],  {t, 0, 
        1.98 Pi, 0.02 Pi}]

Verjetnost v desni polovici:

Plot[NIntegrate[rho6[x, t], {x, Pi/2, Pi}],  {t, 0, 2 Pi}]

Table[
      NIntegrate[rho6[x, t], {x, Pi/2, Pi}],  {t, 0,  Pi,  
        0.05  Pi}]

Točnejša vrednost za verjetnost ob času  τ ~ π/4  oziroma  τ ~ 7π/4  je torej 85%.