SIPANJE V 3D I

 

Martin Gorjan

 

 

 

 

1. NALOGA: Delec se sipa na krogelno simetričnem potencialu .

 

a) Najmanj kolikšen mora biti C, da obstaja vezano stanje?

b) Izračunaj diferencialni in totalni sipalni presek, če ima sipani delec nizko vpadno hitrost.

 

 

 

 

 

 

2. VEZANO STANJE:

 

Pri vajah smo pokazali (Miha Pelko), da za krogelno simetričen primer lahko uporabimo nastavek

 

 

2.1

 

ki pripelje do Schrodingerjeve enačbe oblike

 

 

2.2

 

Računamo samo za l = 0, zato sta primerna nastavka za obe območji (1 je za r > a in 2 za r > a)

 

 

 

2.3

 

Robni pogoji pa so

 

 

 

 

2.4

 

pri čemer je prvi pogoj posledica zahteve po končni rešitvi pri r = 0. Iz prvega in drugega pogoja najprej dobimo

 

 

 

2.5

 

Iz tretjega pogoja dobimo enačbo

 

 

2.6

 

Z uporabo druge enačbe (2.5) dobimo končno enačbo za vezana stanja

 

 

   kjer je  

2.7

 

Sedaj iščemo najmanjšo vrednost M, pri kateri še obstaja (pozitivna) rešitev zgornje enačbe. Izkaže se, da je to pri majhni vrednosti spremenljivke z (glej sliko spodaj), zato lahko funkcijo kotangens hiperbolicus razvijemo po Tayloryu.

 

 

 

 

Iz tega dobimo

 

 

2.8

 

In ker mora biti z večji od nič, sledi

 

 

   in  

2.9

 

Končno dobimo rezultat

 

 

2.10

 

 

 

3. DIFERENCIALNI IN TOTALNI SIPALNI PRESEK:

 

Pri vajah žal nismo naredili nobene naloge iz sipanja, je pa veliko povedanega v Schwablu (18. poglavje). V splošnem za sipanje na majhni motnji velja:

 

 

 

 

3.1

 

Zaradi krogelne simetrije funkcije razvijemo po krogelnih funkcijah

 

 

 

3.2

 

Za velike razdalje, kjer je potencial nič, lahko Rl razvijemo po Hanklovih funkcijah

 

 

3.3

 

kjer je

 

 

3.4

 

in sledi

 

 

3.5

 

Za potencial, ki se konča pri a (oz. potencial, ki pada hitreje kot 1/r2), velja

 

 

 

3.6

 

kjer sta jl in nl krogelna Besslova in krogelna Neumannova funkcija. Znak manjše pomeni krogelni del rešitve valovne funkcije za območje, kjer je r < a, če se potencial razteza do a.

 

 

Diferencialni in totalni sipalni presek sta definirana kot

 

 

 

3.7

 

Za naš primer (krogelno simetrično, l = 0, počasni delci) velja za diferencialni sipalni presek

 

 

3.8

 

 

Sedaj moramo še izračunati fazni zamike . Najprej napišemo ločena nastavka za obe območji: manjše od a in večje od a

 

 

  

 

3.9

 

Kjer pomeni j0 ničto krogelno Besselovo funkcijo in h0 obe krogelni Hankelovi funkcij. Z elementarnimi funkcijami se izražajo na sledeč način:

 

 

                    

3.10

 

Sedaj uporabimo iste robne pogoje kot v prvem delu naloge (enačbe 2.4), od kjer dobimo iz drugega in tretjega pogoja enačbi

 

 

  

 

3.11

 

Najprej izločimo normalizacijski konstanti A in B, s tem da enačbi združimo v eno. S precej premetavanja eksponentnih funkcij in njih razvijanja v trigonometrične funkcije dobimo končno

 

 

  

 

     in    

3.12

 

Ker sta obe spremenljivki z in  dosti manjši od 1, lahko tangensa razvijemo v Taylorjevo vrsto in dobimo za

 

 

  

3.13

 

Diferencialni sipalni presek dobimo po enačbi (3.8) in zopet naredimo Taylorjev razvoj

 

 

  

3.14

 

Totalni sipalni presek pa dobimo po enačbi (3.7)

 

 

  

3.15