Časovno odvisna perturbacija II

 

 

 

Naloga:

 

Atom z vrstnim številom Z in enim samim elektronom je v osnovnem stanju. Kolikšna je verjetnost, da je po trenutni spremembi naboja jedra, Z→Z±1 (razpad b±), atom v 1. vzbujenem stanju? Primerjaj točno rešitev z rešitvijo v 1. redu perturbacije.

 

 

 

Rešitev v 1. redu perturbacije:

 

 

Funkcija stanja atoma pred razpadom:

 

 

Funkcija stanja atoma po razpadu (rb = Bohrov radij):

 

 

Hamiltonjan ima po razpadu naslednjo obliko:

 

 

Če ga malce predelamo, dobimo perturbacijski člen:

 

 

       t ≥0;

0                      t<0

 

Uporabimo sedaj sistem diferencialnih enačb za koeficiente v razvoju po lastnih stanjih:

 

Za prvi red perturbacije lahko vzamemo m=1 (prvi člen v vsoti), pri čemer je še C1(t)=1.

 

Dobimo:

verjetnost, da se bo atom znašel v stanju n=2 ( koeficient absolutno kvadriramo):

 

 

 

       in   Wr=13.6 eV

 

zgornji integral sicer divergira, vendar je fizikalno divergenca nepomembna. Znebimo se jo s perpartesom (prvi člen namreč ni povezan s prehodom stanja):

 

sledi:

 

 

V našem primeru je odvod potenciala, kar delta funkcija d(t), poenostavi integral v:

 

 

Izračunati je še potrebno le V12:

 

 

in končna rešitev,

 

 

 

 

Točna rešitev:

 

Funkcija stanja atoma pred razpadom:

 

 

Funkcija stanja atoma po razpadu (rb = Bohrov radij):

Razvijmo sedaj začetno stanje atoma, se pravi atom v stanju |100> po lastnih funkcijah novega stanja.

 

Če sedaj to enačbo pomnožimo z lastni funkcijo novega stanja, lahko dobimo koeficiente Cn. Njegov kvadrat pa predstavlja ravno verjetnost, da se atom nahaja v stanju n'.

 

 

Izračunajmo sedaj vrednost koeficienta C2:

 

 

 

Po kratkem računanju dobimo koeficient C2 in ko ga kvadriramo, dobimo verjetnost, da se atom po razpadu nahaja v tem stanju n=2:

 

 

Seveda pa mora biti pri negativnem razpadu Z ≥ 2

Izkaže se, če gremo računati integrale s <210'|100> ali <21±1'|100> , da so 0 (na to lahko sklepamo iz sodosti in lihosti funkcij).

 

 

 

Poglejmo sedaj kako se perturbacijsko metodo ujema z točno rešitvijo:

- na y osi je |C2(t)|2 in na x pa Z

- rdeča barva ustreza točni vrednosti, modra pa perturbacijski metodi

 

Pozitivni razpad:

           

Negativni razpad:

 

Rezultati so pričakovani. Pri večjem Z se bosta bolje ujemali, saj je vpliv perturbacije zmanjšuje