�asovno odvisna perturbacija II

Naloga:

Atom z vrstnim �tevilom Z in enim samim elektronom je v osnovnem stanju. Kolik�na je verjetnost, da je po trenutni spremembi naboja jedra, Z→Z�1 (razpad b^�), atom v 1. vzbujenem stanju? Primerjaj to�no re�itev z re�itvijo v 1. redu perturbacije.

Re�itev v 1. redu perturbacije:

Funkcija stanja atoma pred razpadom:

Funkcija stanja atoma po razpadu (r_b = Bohrov radij):

Hamiltonjan ima po razpadu naslednjo obliko:

�e ga malce predelamo, dobimo perturbacijski �len:

������ t ≥0;

0��������������������� t<0

Uporabimo sedaj sistem diferencialnih ena�b za koeficiente v razvoju po lastnih stanjih:

Za prvi red perturbacije lahko vzamemo m=1 (prvi �len v vsoti), pri �emer je �e C₁(t)=1.

Dobimo:

verjetnost, da se bo atom zna�el v stanju n=2 ( koeficient absolutno kvadriramo):

������ in�� W_r=13.6 eV

zgornji integral sicer divergira, vendar je fizikalno divergenca nepomembna. Znebimo se jo s perpartesom (prvi �len namre� ni povezan s prehodom stanja):

sledi:

V na�em primeru je odvod potenciala, kar delta funkcija d(t), poenostavi integral v:

Izra�unati je �e potrebno le V₁₂:

in kon�na re�itev,

To�na re�itev:

Funkcija stanja atoma pred razpadom:

Funkcija stanja atoma po razpadu (r_b = Bohrov radij):

Razvijmo sedaj za�etno stanje atoma, se pravi atom v stanju |100> po lastnih funkcijah novega stanja.

�e sedaj to ena�bo pomno�imo z lastni funkcijo novega stanja, lahko dobimo koeficiente C_n. Njegov kvadrat pa predstavlja ravno verjetnost, da se atom nahaja v stanju n'.

Izra�unajmo sedaj vrednost koeficienta C₂:

Po kratkem ra�unanju dobimo koeficient C₂ in ko ga kvadriramo, dobimo verjetnost, da se atom po razpadu nahaja v tem stanju n=2:

Seveda pa mora biti pri negativnem razpadu Z ≥ 2

Izka�e se, �e gremo ra�unati integrale s <210'|100> ali <21�1'|100> , da so 0 (na to lahko sklepamo iz sodosti in lihosti funkcij).

Poglejmo sedaj kako se perturbacijsko metodo ujema z to�no re�itvijo:

- na y osi je |C₂(t)|² in na x pa Z

- rde�a barva ustreza to�ni vrednosti, modra pa perturbacijski metodi

Pozitivni razpad:

�����������

Negativni razpad:

Rezultati so pri�akovani. Pri ve�jem Z se bosta bolje ujemali, saj je vpliv perturbacije zmanj�uje