Popravek energije osnovnega stanja vodikovega atoma v �ibkem homogenem elektri�nem polju.

Operator energije vodikovega atoma v homogenem elektri�nem polju se zapi�e kot

,�������������������������������������������������������������������� (1)

.

Zanima nas samo primer, ko je jakost zunanjega elektri�nega polja ( E ) veliko manj�a od notranjega elektri�nega polja, zato uporabimo rezultate iz teorije motenj, ki smo jih izpeljali na predavanjih. Energijo stanja �zapi�emo kot vsoto energije nemotenega stanja (brez zunanjega polja) in popravkov prvega ter drugega reda:

.�������������������������������������������������������������������������������������������������� (2)

Za popravek prvega reda velja ena�ba:

,�������������������������������������������������������������������������������������������������������� (3)

pri �emer je �nemoteno stanje. V na�em primeru je �kar osnovno stanje vodikovega atoma, se pravi

�.

�Za popravek prvega reda torej dobimo ():

.

Prvi red nam torej ne da popravka, zato moramo upo�tevati �e drugi red. Pri drugem redu se bomo omejili le na oceno popravka. Za drugi red velja ena�ba:

.�������������������������������������������������������������������������������������������� (4)

�e vzamemo le prvi �len v vsoti po n (), dobimo oceno

oziroma

.

Za prvo vzbujeno stanje () so mo�na kvantna �tevila ,� ter . Pri ra�unanju �lenov �nam pomaga dejstvo, da so razli�ni od ni� le, �e ima funkcija pod integralom sodo parnost ( �). Sferni harmoniki imajo parnost , V ima liho parnost, zato �len� �v vsoti odpade.

Ostane nam �e neena�ba

.

Sferni harmoniki so tudi lastne funkcije z-komponente vrtilne koli�ine. Pri ra�unanju �lenov �imamo opraviti z integrali oblike

,

�ki� so razli�ni od ni� le, �e je m enak ni�. Tako dobimo spodnjo mejo absolutne vrednosti popravka drugega reda:

���������������������������������������������������������������������������������� (5)

Ocenimo �e zgornjo mejo absolutne vrednosti popravka drugega reda. Vzamemo ena�bo (4) in upo�tevamo, da velja . Tako dobimo oceno

oziroma

.

V vsoto lahko vklju�imo tudi �len s kvantnim �tevilom , ker je enak ni�. Vsoto lahko zapi�emo tudi druga�e:

.

Preostane nam le �e izra�un skalarnega produkta :

Tako dobimo oceno za drugi red popravka v energiji:

.�������������������������������������������������������� (6)

Izraz lahko �e izvrednotimo, �e upo�tevamo, da je

, , .

Primo� Rebernik Ribi�