Harmonski oscilator
Sa


o Drenik. Zahvaljujem se Andreju za zapiske in Toma


u za konstruktivne pripombe.
1. Valovne funkcije lastnih stanj
Hamiltonov operator harmonskega oscilatorja izgleda takole:



(1.1)
Definirajmo pa 


e nekaj konstant, ki nam bodo olaj


ale obetajo


e se ra


unanje:
Sedaj lahko vpeljemo dva nova operatorja.
Z njima lahko izrazim Hamiltonov operator:



(1.2)
Oglejmo si 


e delovanje anihilacijskega in kreacijskega operatorja na n-to stanje:



(1.3)
Opazimo, da lahko n-to stanje zapi


emo kot n-kratno delovanje kreacijskega operatorja na osnovnem stanju.



(1.4)
Za delovanje anihilacijskega operatorja na osnovno stanje velja pa:



(1.5)
Oboro


eni s tem spoznanjem lahko poi






emo valovno funkcijo, ki ustreza osnovnemu stanju:



(1.6)
Med ra


unanjem smo upo


tevali, da je 


. Konstanto C dolo


imo tako, da normiramo funkcijo.



(1.7)








Valovna funkcija osnovnega stanja se potemtakem glasi:



(1.8)
Prav enostavno, mar ne? Opogumljeni z novim znanjem se podajmo v lov za valovno funkcijo prvega vzbujenega stanja. To najla


e najdemo tako, da na valovno funkcijo osnovnega stanja enkrat delujemo s kreacijskim operatorjem.



(1.9)
To napi


imo bolj po doma


e:



(1.10)



(1.11)
2.



asovni razvoj poljubne valovne funkcije
Zdaj si pa oglejmo, kako se s 


asom spreminja valovna funkcija, ki jo ob 


asu 


zapi


emo kot linearno kombinacijo valovnih funkcij osnovnega in prvega vzbujenega stanja.



(2.1)
Konkretno nas zanima pri


akovana vrednost operatorja 


. Pametno je, 


e najprej opravimo 


asovni razvoj 


.



(2.2)
Upo


tevajmo, da so energije lastnih stanj harmonskega oscilatorja 


.



(2.3)
Tako. Zdaj, ko natan


no poznamo valovno funkcijo, se lahko podamo na pot do pri


akovane vrednosti operatorja x.



(2.4)




Ker integriramo od 


do 


, lahko tiste 


lene, ki nam dajo liho funkcijo, izpustimo. Na


integral se tako skr


i na sode 


lene.



(2.5)




Uvedli smo zamenjavo 


. V 


prepoznamo izraz 


. Integral nam da 


. Pri


akovana vrednost operatorja x je torej



(2.6)
3. Lep


i na


in izpeljave
Rezultat je sicer lep,
a je pot, ki vodi do njega, precej pu






obna. Bralec se utegne vpra


ati, mar ne bi bilo mo


v estetiki, enakovredni estetiki rezulata, u


ivati 


e kar med ra


unanjem. Odgovor se - na na


o radost 


glasi “Vsekakor!” Ob tem mestu se spomnimo na kreacijski in anihilacijski operator. Z njima izrazimo operator x.



(3.1)



e enkrat zapi


imo 


asovni razvnoj na


e valovne funkcije



(3.2)
in se vrzimo v ra


unanje.




O delovanju anihilacijskih in kreacijskih operatorjev lahko re


emo naslednje:
Nadaljujmo ra


unanje.




O skalarnem produktu dveh lastnih valovnih funkcij lahko povemo tole: 


Tako lahko kar zapi


emo rezultat:



(3.3)
Kar je, v na


e veliko zadovoljstvo, ravno to, kar smo nara


unali v to


ki 2. Hvala za pozornost.