Sao Drenik. Zahvaljujem se Andreju za zapiske in Tomau za konstruktivne pripombe.

Hamiltonov operator harmonskega oscilatorja izgleda takole:

(1.1)

Definirajmo pa e nekaj konstant, ki nam bodo olajale obetajoe se raunanje:

Sedaj lahko vpeljemo dva nova operatorja.

	anihilacijski operator
	kreacijski operator

Z njima lahko izrazim Hamiltonov operator:

(1.2)

Oglejmo si e delovanje anihilacijskega in kreacijskega operatorja na n-to stanje:

(1.3)

Opazimo, da lahko n-to stanje zapiemo kot n-kratno delovanje kreacijskega operatorja na osnovnem stanju.

(1.4)

Za delovanje anihilacijskega operatorja na osnovno stanje velja pa:

(1.5)

Oboroeni s tem spoznanjem lahko poiemo valovno funkcijo, ki ustreza osnovnemu stanju:

(1.6)

Med raunanjem smo upotevali, da je . Konstanto C doloimo tako, da normiramo funkcijo.

(1.7)

Valovna funkcija osnovnega stanja se potemtakem glasi:

(1.8)

Prav enostavno, mar ne? Opogumljeni z novim znanjem se podajmo v lov za valovno funkcijo prvega vzbujenega stanja. To najlae najdemo tako, da na valovno funkcijo osnovnega stanja enkrat delujemo s kreacijskim operatorjem.

(1.9)

To napiimo bolj po domae:

(1.10)

(1.11)

2.

asovni razvoj poljubne valovne funkcije

Zdaj si pa oglejmo, kako se s asom spreminja valovna funkcija, ki jo ob asu zapiemo kot linearno kombinacijo valovnih funkcij osnovnega in prvega vzbujenega stanja.

(2.1)

Konkretno nas zanima priakovana vrednost operatorja . Pametno je, e najprej opravimo asovni razvoj .

(2.2)

Upotevajmo, da so energije lastnih stanj harmonskega oscilatorja .

(2.3)

Tako. Zdaj, ko natanno poznamo valovno funkcijo, se lahko podamo na pot do priakovane vrednosti operatorja x.

(2.4)

Ker integriramo od do , lahko tiste lene, ki nam dajo liho funkcijo, izpustimo. Na integral se tako skri na sode lene.

(2.5)

Uvedli smo zamenjavo . V prepoznamo izraz . Integral nam da . Priakovana vrednost operatorja x je torej

(2.6)

3. Lepi nain izpeljave

Rezultat je sicer lep,

(3.1)

e enkrat zapiimo asovni razvnoj nae valovne funkcije

(3.2)

in se vrzimo v raunanje.

O delovanju anihilacijskih in kreacijskih operatorjev lahko reemo naslednje:

Nadaljujmo raunanje.

O skalarnem produktu dveh lastnih valovnih funkcij lahko povemo tole: Tako lahko kar zapiemo rezultat:

(3.3)

Kar je, v nae veliko zadovoljstvo, ravno to, kar smo naraunali v toki 2. Hvala za pozornost.