Harmonski oscilator
Sa
o Drenik. Zahvaljujem se Andreju za zapiske in Toma
u za konstruktivne pripombe.
1. Valovne funkcije lastnih stanj
Hamiltonov operator harmonskega oscilatorja izgleda takole:
(1.1)
Definirajmo pa 
e nekaj konstant, ki nam bodo olajale obetajo
e se raunanje:
Sedaj lahko vpeljemo dva nova operatorja.
Z njima lahko izrazim Hamiltonov operator:
(1.2)
Oglejmo si e delovanje anihilacijskega in kreacijskega operatorja na n-to stanje:
(1.3)
Opazimo, da lahko n-to stanje zapiemo kot n-kratno delovanje kreacijskega operatorja na osnovnem stanju.
(1.4)
Za delovanje anihilacijskega operatorja na osnovno stanje velja pa:
(1.5)
Oboro
eni s tem spoznanjem lahko poiemo valovno funkcijo, ki ustreza osnovnemu stanju:
(1.6)
Med raunanjem smo upotevali, da je 
. Konstanto C doloimo tako, da normiramo funkcijo.
(1.7)
Valovna funkcija osnovnega stanja se potemtakem glasi:
(1.8)
Prav enostavno, mar ne? Opogumljeni z novim znanjem se podajmo v lov za valovno funkcijo prvega vzbujenega stanja. To najlae najdemo tako, da na valovno funkcijo osnovnega stanja enkrat delujemo s kreacijskim operatorjem.
(1.9)
To napiimo bolj po domae:
(1.10)
(1.11)
2.
asovni razvoj poljubne valovne funkcije
Zdaj si pa oglejmo, kako se s asom spreminja valovna funkcija, ki jo ob asu 
zapiemo kot linearno kombinacijo valovnih funkcij osnovnega in prvega vzbujenega stanja.
(2.1)
Konkretno nas zanima priakovana vrednost operatorja 
. Pametno je, e najprej opravimo asovni razvoj 
.
(2.2)
Upotevajmo, da so energije lastnih stanj harmonskega oscilatorja 
.
(2.3)
Tako. Zdaj, ko natanno poznamo valovno funkcijo, se lahko podamo na pot do priakovane vrednosti operatorja x.
(2.4)
Ker integriramo od 
do 
, lahko tiste lene, ki nam dajo liho funkcijo, izpustimo. Na integral se tako skri na sode lene.
(2.5)
Uvedli smo zamenjavo 
. V 
prepoznamo izraz 
. Integral nam da 
. Priakovana vrednost operatorja x je torej
(2.6)
3. Lep
i na
in izpeljave
Rezultat je sicer lep,
a je pot, ki vodi do njega, precej puobna. Bralec se utegne vpraati, mar ne bi bilo mo v estetiki, enakovredni estetiki rezulata, uivati e kar med raunanjem. Odgovor se - na nao radost 
glasi “Vsekakor!” Ob tem mestu se spomnimo na kreacijski in anihilacijski operator. Z njima izrazimo operator x.
(3.1)
e enkrat zapiimo asovni razvnoj nae valovne funkcije
(3.2)
in se vrzimo v raunanje.
O delovanju anihilacijskih in kreacijskih operatorjev lahko reemo naslednje:
Nadaljujmo raunanje.
O skalarnem produktu dveh lastnih valovnih funkcij lahko povemo tole: 
Tako lahko kar zapiemo rezultat:
(3.3)
Kar je, v nae veliko zadovoljstvo, ravno to, kar smo naraunali v toki 2. Hvala za pozornost.
