DN iz kvantne mehanike: Perturbacija 1 (Starkov pojav) Borut Levart na poletni popoldan petek 17. maj 2001

NALOGA: Izračunaj vpliv zunanjega električnega polja na eregijske nivoje osnovnega in prvega vzbujenega stanja vodikovega atoma. Izračunaj popravke v najnižjem netrivialnem redu perturbacije.

Ocenimo

Zunanje električno polje je m`cena motnja! Perturbacijski pristop bo tako uspešen. Spremenjeni Hamiltonjan:

Osnovno stanje

---

Linearni popravek k energiji perturbiranega stanja je pričakovana vrednost motnje.

Poiskati moramo kvadratni člen v perturbaciji (od tod ime kvadratni Starkov pojav)

Neskončna vsota, kjer seštevam po kontinuu neperturbiranih stanj vodika, je težko izracunljiva. Lahko jo:
1. ocenimo
2. naravnost seštejemo (http://hep.ucsd.edu/~branson/130/130b/130b_notes_prod/node78.html)
3. glej tudi vir A. Dalgarno in J.T. Lewis, Proc. Roy. Soc. (London) A233, 70 (1995)
4. uporabimo naslednjo identiteto:

V računu smo uporabili teorem o kompletnem setu

Problem neskončne vsote se spremeni v problem pričakovane vrednosti operatorja .

Pri polju znaša popravek k energiji .

Prvo vzbujeno stanje

---

Išcemo popravek v najnižnjem redu. Postopek je sledeč:

1. napolnim matriko
2. V diagonaliziram
3. lastne vrednosti so energijski popravki
4. lastni vektorji so nova lastna stanja

Trezni premislek nam pomaga v toliko, da:

1. pričakovane vrednosti so 0, ko , saj je del kotnih funkcij, ki je odvisen od enak . Strogo matematicno:

2. diagonalni elementi so enaki 0, saj se v integralu po pojavijo integrali:

ki so vsi po vrsti integrali lihe funkcije v simetri
nih mejah. Matrika V se mi tako zreducira na:

Ostane element

Diagonalizacija pravi, da:

Nova stanja so:

Pri polju znaša popravek k energiji .