�asovni razvoj valovne funkcije

MATEJ LEBAN, 30. marec 2000


Elektron je ob t = 0 v neskon�ni potencialni jami �irine 2a (med -a in a) z valovno funkcijo:

[Graphics:Images/index_gr_1.gif]

a) Izra�unaj valovno funkcijo elektrona ob poznej�ih �asih.
b) Kako se s �asom spreminja verjetnost, da je elektron na desni polovici potencialne jame (x > 0) ?
c) Poka�i, da velja Ehrenfestov teorem za povpre�no vrednost gibalne kolicine.
d) Izdelaj simulacijo �asovne odvisnosti verjetnostne gostote.

Funkcijo najprej normiram:

[Graphics:Images/index_gr_2.gif]


a) �asovni razvoj

Nastavek:

[Graphics:Images/index_gr_3.gif]

kjer so [Graphics:Images/index_gr_4.gif] lastne funkcije za delec v neskon�ni potencialni jami. Nastavek postavim v Schroedingerjevo ena�bo :  [Graphics:Images/index_gr_5.gif] in dobim

[Graphics:Images/index_gr_6.gif]

[Graphics:Images/index_gr_7.gif]

[Graphics:Images/index_gr_8.gif]

Za lastne funkcije dobim:

[Graphics:Images/index_gr_9.gif]

Dana funkcije je linerarna kombinacija lastnih funkcij:

[Graphics:Images/index_gr_10.gif]

Razvita po �asu pa zgleda takole:

[Graphics:Images/index_gr_11.gif]


b) verjetnost, da je elektron v desni polovici potencialne jame

Verjetnost je enaka:

[Graphics:Images/index_gr_12.gif]

Uvedem novo spremenljivko [Graphics:Images/index_gr_13.gif]

[Graphics:Images/index_gr_14.gif]

Verjetnostna gotota:

[Graphics:Images/index_gr_15.gif]

ANIMACIJA: Verjetnostna gostota je simetri�na tako v x kakor v t. Verjetnost, da na delec naletimo v desni polovici jame, niha okoli vrednosti 0.5.

Verjetnost, da je elektron v desni strani potencialne jame:

[Graphics:Images/index_gr_16.gif]


c) Ehrenfestov teorem

1)  [Graphics:Images/index_gr_17.gif]

2) [Graphics:Images/index_gr_18.gif]

Pokazati moram da za to valovno funkcijo velja Ehrenfestov teorem

1)


[Graphics:Images/index_gr_19.gif]

[Graphics:Images/index_gr_20.gif]

Ce <x> odvajam in mno�im z maso m, vidim da teorem velja.

2)


[Graphics:Images/index_gr_21.gif]

[Graphics:Images/index_gr_22.gif]

[Graphics:Images/index_gr_23.gif]
[Graphics:Images/index_gr_24.gif]

[Graphics:Images/index_gr_25.gif]


Converted by Mathematica      March 30, 2001